Subgroups — #6357420

Order 512.

1836 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60966	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#60673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19704	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#19690	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#19688	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#19663	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#19654	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#19642	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#17323	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3444	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#3252	—	2	8	no	—
14	#3231	C₂²	1	8	yes	—
15	#3230	C₂²	1	4	yes	—
16	#3227	C₂²	1	4	yes	—
17	#3210	C₂²	1	8	yes	—
18	#3209	C₂²	1	4	yes	—
19	#3206	C₂²	1	4	yes	—
20	#3196	—	2	8	no	—
21	#3185	C₂²	1	8	yes	—
22	#3182	C₂²	1	8	yes	—
23	#3170	C₂²	1	2	yes	—
24	#3169	C₂²	1	2	yes	—
25	#3168	—	2	4	no	—
26	#3167	C₂²	1	4	yes	—
27	#3160	—	2	4	no	—
28	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#3160	C₂²	1	4	yes	—
30	#3160	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#499	—	2	2	no	—
33	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
34	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#3131	C₂²	1	2	yes	—
36	#3117	—	2	8	no	—
37	#3116	—	2	8	no	—
38	#3050	—	2	2	no	—
39	C₄×#135	—	2	2	no	—
40	#2920	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#427	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1723	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#1723	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1722	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1719	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#1718	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#1716	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1715	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1708	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1707	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#1705	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1452	C₂²	1	2	yes	—
54	#1451	C₂²	1	4	yes	—
55	#1450	C₂²	1	2	yes	—
56	C₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
57	C₂×#135	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
59	#533	—	2	4	no	—
60	#533	—	2	4	no	—
61	#533	—	2	4	no	—
62	#533	C₂³	1	2	yes	—
63	#533	C₂³	1	8	yes	—
64	#533	C₂³	1	4	yes	—
65	#532	C₂³	1	2	yes	—
66	#532	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
68	#529	—	2	4	no	—
69	#529	—	2	4	no	—
70	#529	—	2	4	no	—
71	C₂×#125	—	2	2	no	—
72	#525	—	2	4	no	—
73	#525	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₄×#41	—	2	4	no	—
76	C₄×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂×#117	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#500	—	2	4	no	—
81	#500	C₂³	1	4	yes	—
82	#500	C₂³	1	4	yes	—
83	#500	C₂³	1	2	yes	—
84	#500	C₂³	1	8	yes	—
85	#499	—	2	8	no	—
86	#499	—	2	8	no	—
87	#499	—	2	2	no	—
88	#498	—	2	4	no	—
89	#498	C₂³	1	4	yes	—
90	#498	C₂³	1	4	yes	—
91	#498	C₂³	1	2	yes	—
92	#498	C₂³	1	8	yes	—
93	#495	—	2	2	no	—
94	#494	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#494	C₂³	1	8	yes	—
96	#493	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#492	C₂³	1	2	yes	—
98	#492	C₂³	1	8	yes	—
99	#488	—	2	4	no	—
100	#487	C₂³	1	4	yes	—
101	#487	C₂³	1	8	yes	—
102	#487	C₂³	1	8	yes	—
103	#487	C₂³	1	8	yes	—
104	#486	C₂³	1	4	yes	—
105	#486	C₂³	1	8	yes	—
106	#485	—	2	16	no	—
107	#484	—	2	8	no	—
108	#481	—	2	8	no	—
109	#479	—	2	16	no	—
110	#477	—	2	8	no	—
111	#476	—	2	8	no	—
112	#470	—	2	16	no	—
113	#468	—	2	16	no	—
114	#467	—	2	4	no	—
115	#466	—	2	4	no	—
116	#465	—	2	8	no	—
117	#464	—	2	16	no	—
118	#462	—	2	8	no	—
119	#461	—	2	8	no	—
120	#452	—	2	16	no	—
121	#451	—	2	8	no	—
122	#448	—	2	8	no	—
123	#441	—	2	16	no	—
124	#440	—	2	16	no	—
125	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
126	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
127	C₄×D₈	—	2	4	no	—
128	#432	D₄	1	4	yes	—
129	#432	D₄	1	4	yes	—
130	#431	C₂³	1	4	yes	—
131	#431	C₂³	1	4	yes	—
132	#427	—	2	8	no	—
133	#427	—	2	8	no	—
134	#427	—	2	2	no	—
135	C₂×#107	—	2	4	no	—
136	C₂×#106	—	2	4	no	—
137	#423	D₄	1	4	yes	—
138	#416	—	2	4	no	—
139	#407	D₄	1	4	yes	—
140	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
147	#322	C₂³	1	8	yes	—
148	#322	C₂³	1	4	yes	—
149	C₈²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×#41	—	2	2	no	—
151	C₂×#41	—	2	4	no	—
152	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	#135	—	4	8	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
160	C₂×D₈	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
173	#127	C₂⁴	1	2	yes	—
174	#126	—	4	4	no	—
175	#125	—	2	8	no	—
176	#125	—	2	4	no	—
177	#125	—	2	2	no	—
178	#125	—	4	2	no	—
179	#125	—	4	2	no	—
180	#124	—	2	4	no	—
181	#124	—	2	2	no	—
182	#123	—	4	2	no	—
183	#123	—	4	4	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
191	#121	—	2	4	no	—
192	#121	—	2	4	no	—
193	#121	—	2	4	no	—
194	#120	—	4	2	no	—
195	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₄×D₄	—	2	4	no	—
203	C₄×D₄	—	2	4	no	—
204	C₄×D₄	—	2	4	no	—
205	C₄×D₄	—	4	4	no	—
206	C₄×D₄	—	4	4	no	—
207	C₄×D₄	—	4	4	no	—
208	#117	—	2	8	no	—
209	#117	—	2	2	no	—
210	#117	—	2	4	no	—
211	#117	—	4	4	no	—
212	#117	—	4	4	no	—
213	#117	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
227	#107	—	2	8	no	—
228	#107	—	2	8	no	—
229	#107	—	2	4	no	—
230	#107	—	2	16	no	—
231	#106	—	2	8	no	—
232	#106	—	2	8	no	—
233	#106	—	2	4	no	—
234	#106	—	2	16	no	—
235	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
237	#103	—	2	8	no	—
238	#103	—	2	16	no	—
239	#103	—	2	16	no	—
240	#103	—	2	16	no	—
241	#102	—	2	8	no	—
242	#102	—	2	16	no	—
243	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
245	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
250	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
252	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
254	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
255	#41	—	4	8	no	—
256	#41	—	8	8	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	Q₁₆	—	4	4	no	—
282	Q₁₆	—	8	16	no	—
283	SD₁₆	—	4	8	no	—
284	SD₁₆	—	8	16	no	—
285	D₈	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	8	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	8	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	8	no	—
316	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	#127	1	2	yes	—
318	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	#127	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	4	16	no	—
332	Q₈	—	4	8	no	—
333	Q₈	—	4	4	no	—
334	Q₈	—	8	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₈	—	2	16	no	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	C₂×#137	1	4	yes	—
365	C₈	C₂×#137	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	#3152	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	—	8	8	no	—
382	C₄	#3152	1	2	yes	—
383	C₄	C₂²×#137	1	2	yes	—
384	C₄	#3584	1	4	yes	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	16	2	no	—
388	C₂	C₂×#3152	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#60643	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	#60673	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60966	C₂	semidirect
3. C₂×#3160	C₂	semidirect
4. #19704	C₂	semidirect
5. #19690	C₂	semidirect
6. #19688	C₂	semidirect
7. #19663	C₂	semidirect
8. #19654	C₂	semidirect
9. #19642	C₂	semidirect
10. #17323	C₂	semidirect
43. #1723	C₂²	semidirect
44. #1723	C₂²	semidirect
45. #1722	C₂²	semidirect
46. #1719	C₂²	semidirect
47. #1718	C₂²	semidirect
48. #1716	C₂²	semidirect
49. #1715	C₂²	semidirect
50. #1708	C₂²	semidirect
51. #1707	C₂²	semidirect
52. #1705	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60966	2
#60673	2
C₂×#3160	2
#19704	2
#19690	2
#19688	2
#19663	2
#19654	2
#19642	2
#17323	2