Subgroups — #6359193

Order 512.

1548 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61411	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20020	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20010	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#19964	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#19271	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#19204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#18654	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#17958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#3509	C₂²	1	4	yes	—
13	#3398	—	2	4	no	—
14	#3398	C₂²	1	8	yes	—
15	#3395	—	2	2	no	—
16	#3395	C₂²	1	4	yes	—
17	#3393	—	2	2	no	—
18	#3393	C₂²	1	4	yes	—
19	#3383	C₂²	1	8	yes	—
20	#3342	C₂²	1	8	yes	—
21	#3336	—	2	8	no	—
22	#3231	—	2	4	no	—
23	#3229	C₂²	1	4	yes	—
24	#3170	—	2	2	no	—
25	#3170	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#3160	—	2	2	no	—
27	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
29	#3156	—	2	2	no	—
30	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
31	#3044	—	2	4	no	—
32	#3039	C₂²	1	4	yes	—
33	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
34	#2960	C₂²	1	2	yes	—
35	#2950	—	2	2	no	—
36	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	C₂²	1	4	yes	—
38	#1713	C₂²	1	4	yes	—
39	#1690	C₂²	1	8	yes	—
40	#1674	C₂²	1	8	yes	—
41	#1673	C₂²	1	8	yes	—
42	#1670	C₂²	1	8	yes	—
43	#1650	C₂²	1	16	yes	—
44	#1648	C₂²	1	16	yes	—
45	#1591	C₂²	1	4	yes	—
46	C₈×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
47	C₈×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
48	C₈×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
49	C₈×D₈	C₂²	1	2	yes	—
50	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#1546	C₂²	1	4	yes	—
53	#1493	C₂²	1	2	yes	—
54	#1476	C₂²	1	2	yes	—
55	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#137	—	2	4	no	—
57	C₂×#135	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
60	#557	—	2	4	no	—
61	#557	C₂³	1	8	yes	—
62	#556	—	2	4	no	—
63	#556	C₂³	1	8	yes	—
64	#552	—	2	8	no	—
65	#552	—	4	4	no	—
66	#541	—	4	4	no	—
67	#536	—	2	4	no	—
68	#533	—	2	4	no	—
69	#533	—	2	4	no	—
70	#533	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	#519	—	2	4	no	—
73	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
74	#500	—	2	2	no	—
75	#500	—	2	2	no	—
76	#500	—	4	2	no	—
77	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#500	C₂³	1	8	yes	—
79	#500	C₂³	1	8	yes	—
80	#499	—	2	8	no	—
81	#498	—	2	4	no	—
82	#497	—	2	8	no	—
83	#495	—	2	4	no	—
84	#494	—	2	4	no	—
85	#494	—	2	2	no	—
86	#494	—	2	2	no	—
87	#494	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#494	C₂³	1	4	yes	—
89	#494	C₂³	1	4	yes	—
90	#487	—	2	4	no	—
91	#487	D₄	1	2	yes	—
92	#485	—	2	16	no	—
93	#483	—	2	8	no	—
94	#479	—	2	16	no	—
95	#475	C₂³	1	16	yes	—
96	#467	—	2	8	no	—
97	#467	D₄	1	4	yes	—
98	#464	—	2	8	no	—
99	#464	—	2	8	no	—
100	#462	—	2	4	no	—
101	#462	—	2	8	no	—
102	#462	—	2	8	no	—
103	#462	C₂³	1	8	yes	—
104	#461	—	2	4	no	—
105	#461	C₂³	1	8	yes	—
106	#446	—	2	2	no	—
107	#446	C₂³	1	4	yes	—
108	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₈×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₈×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
111	#441	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
113	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
114	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
115	C₄×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
117	C₄×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₄×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
119	C₄×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₈×D₄	—	2	4	no	—
123	C₈×D₄	C₂³	1	4	yes	—
124	#431	—	2	2	no	—
125	#431	C₂³	1	2	yes	—
126	#427	—	2	8	no	—
127	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×#107	—	2	4	no	—
129	C₂×#107	—	4	2	no	—
130	#424	—	2	2	no	—
131	#423	C₂³	1	2	yes	—
132	#419	—	2	4	no	—
133	#416	D₄	1	2	yes	—
134	#405	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	#335	C₂³	1	2	yes	—
140	#335	C₂³	1	4	yes	—
141	#334	C₂³	1	2	yes	—
142	#332	C₂³	1	16	yes	—
143	Q₈⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
144	Q₈⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
145	D₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
146	C₈²	C₂³	1	2	yes	—
147	C₈²	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
150	#137	—	8	8	no	—
151	#135	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
177	#126	—	4	8	no	—
178	#126	—	4	8	no	—
179	#125	—	2	8	no	—
180	#125	—	2	2	no	—
181	#125	—	4	4	no	—
182	#125	—	4	8	no	—
183	#125	—	4	8	no	—
184	#124	—	2	8	no	—
185	#123	—	4	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₄×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₄×D₄	—	2	2	no	—
203	C₄×D₄	—	2	2	no	—
204	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	#117	—	2	2	no	—
207	#117	—	2	2	no	—
208	#117	—	2	8	no	—
209	#117	—	4	8	no	—
210	#117	—	4	4	no	—
211	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	#107	—	2	8	no	—
217	#107	—	2	8	no	—
218	#107	—	4	8	no	—
219	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	#107	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	#107	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	#106	—	2	16	no	—
223	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
229	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
230	#103	—	2	16	no	—
231	#103	—	2	8	no	—
232	#103	—	2	8	no	—
233	#103	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	#103	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
236	#102	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	#102	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
240	#97	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	2	4	no	—
242	C₄×C₈	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	2	2	no	—
244	C₄×C₈	—	2	1	no	—
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	2	4	no	—
254	#41	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
260	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
261	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	Q₁₆	—	2	2	no	—
272	Q₁₆	—	2	8	no	—
273	Q₁₆	—	4	8	no	—
274	Q₁₆	—	4	8	no	—
275	Q₁₆	—	8	4	no	—
276	Q₁₆	—	8	4	no	—
277	Q₁₆	—	8	8	no	—
278	SD₁₆	—	2	4	no	—
279	SD₁₆	—	8	8	no	—
280	D₈	—	2	2	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	4	8	no	—
325	C₄²	—	4	8	no	—
326	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	2	2	no	—
334	Q₈	—	2	8	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	8	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	8	8	no	—
339	D₄	—	2	2	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	8	no	—
354	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	2	1	no	—
364	C₈	—	2	1	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
369	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
370	C₈	#578	1	4	yes	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	#3287	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	8	8	no	—
386	C₄	#3287	1	2	yes	—
387	C₄	#3293	1	2	yes	—
388	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
390	C₄	C₂×#578	1	2	yes	—
391	C₂	—	2	2	no	—
392	C₂	—	8	2	no	—
393	C₂	C₂×#3287	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#61091	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#3293	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	C₂×#135	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62473	C₂	semidirect
3. #20020	C₂	semidirect
4. #20010	C₂	semidirect
5. #19964	C₂	semidirect
6. C₂×#1713	C₂	semidirect
7. #19271	C₂	semidirect
8. #19204	C₂	semidirect
9. #18654	C₂	semidirect
10. #17958	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62473	2
#61411	2
#20020	2
#20010	2
#19964	2
C₂×#1713	2
#19271	2
#19204	2
#18654	2
#17958	2
C₈×#135	2