Subgroups — C₂²×#1800 #6370775

Order 512.

6762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂³×#100	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1800	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂⁵×C₄	C₄	1	2	yes	—
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄×D₄	—	2	12	no	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	12	yes	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	—	2	12	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
21	C₂²×#100	—	2	16	no	—
22	C₂²×#100	C₂²	1	24	yes	—
23	#1800	C₂²	1	64	yes	direct product factor
24	C₂×#343	C₂²	1	24	yes	complemented
25	C₂⁶	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
27	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
29	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
30	C₂³×D₄	D₄	1	8	yes	—
31	C₂³×D₄	Q₈	1	8	yes	—
32	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	12	no	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
36	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
37	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	12	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	24	yes	—
46	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	48	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	D₄	1	12	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
67	#423	—	2	48	no	—
68	#423	C₂³	1	32	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
71	C₂×#100	—	2	96	no	—
72	C₂×#100	C₂³	1	32	yes	—
73	#343	C₂³	1	32	yes	complemented
74	C₂⁵	—	2	6	no	—
75	C₂⁵	—	2	2	no	—
76	C₂⁵	—	2	8	no	—
77	C₂⁵	—	4	8	no	—
78	C₂⁵	—	4	8	no	—
79	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
80	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂⁵	C₂²×C₄	1	12	yes	—
82	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
92	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	48	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	96	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	96	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
125	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	48	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
132	C₄×D₄	—	2	96	no	—
133	C₄×D₄	—	2	96	no	—
134	C₄×D₄	—	2	32	no	—
135	C₄×D₄	—	2	32	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
155	#100	—	2	64	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	12	no	—
159	C₂⁴	—	2	12	no	—
160	C₂⁴	—	2	24	no	—
161	C₂⁴	—	2	48	no	—
162	C₂⁴	—	2	16	no	—
163	C₂⁴	—	4	24	no	—
164	C₂⁴	—	4	64	no	—
165	C₂⁴	—	4	24	no	—
166	C₂⁴	—	4	24	no	—
167	C₂⁴	—	4	64	no	—
168	C₂⁴	—	4	24	no	—
169	C₂⁴	—	4	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	8	no	—
171	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
172	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
175	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂³×C₄	1	3	yes	—
177	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	24	no	—
179	C₂×D₄	—	2	24	no	—
180	C₂×D₄	—	2	48	no	—
181	C₂×D₄	—	2	48	no	—
182	C₂×D₄	—	2	48	no	—
183	C₂×D₄	—	2	48	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	96	no	—
187	C₂×D₄	—	2	96	no	—
188	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
189	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
190	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	192	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
208	C₂²×C₄	#100	1	8	yes	complemented
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
217	C₂²×C₄	#117	1	12	yes	—
218	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	#121	1	24	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	2	16	no	—
233	M₁₆	—	2	16	no	—
234	M₁₆	—	4	48	no	—
235	C₂×C₈	—	2	16	no	—
236	C₂×C₈	—	4	48	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
240	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
241	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
242	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
243	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
244	C₂³	—	2	16	no	—
245	C₂³	—	2	16	no	—
246	C₂³	—	2	6	no	—
247	C₂³	—	2	6	no	—
248	C₂³	—	2	6	no	—
249	C₂³	—	2	6	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	48	no	—
253	C₂³	—	2	48	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	—	4	96	no	—
256	C₂³	—	4	8	no	—
257	C₂³	—	4	24	no	—
258	C₂³	—	4	96	no	—
259	C₂³	—	4	192	no	—
260	C₂³	—	4	24	no	—
261	C₂³	—	4	64	no	—
262	C₂³	—	4	24	no	—
263	C₂³	—	4	24	no	—
264	C₂³	#380	1	12	yes	—
265	C₂³	#380	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
267	C₂³	#413	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
269	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
271	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
272	C₂³	C₂×#117	1	6	yes	—
273	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
274	D₄	—	2	16	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	2	96	no	—
277	C₂×C₄	—	2	12	no	—
278	C₂×C₄	—	2	24	no	—
279	C₂×C₄	—	2	24	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	12	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	64	no	—
285	C₂×C₄	—	4	24	no	—
286	C₂×C₄	—	4	24	no	—
287	C₂×C₄	—	4	64	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	#380	1	24	yes	—
290	C₂×C₄	#380	1	24	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#100	1	24	yes	complemented
292	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#117	1	6	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
302	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
306	C₈	—	4	16	no	—
307	C₂²	—	2	12	no	—
308	C₂²	—	2	12	no	—
309	C₂²	—	2	24	no	—
310	C₂²	—	2	3	no	—
311	C₂²	—	2	1	no	—
312	C₂²	—	2	3	no	—
313	C₂²	—	2	1	no	—
314	C₂²	—	2	16	no	—
315	C₂²	—	4	16	no	—
316	C₂²	—	4	16	no	—
317	C₂²	—	4	96	no	—
318	C₂²	—	4	96	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	#1800	1	16	yes	direct product factor
322	C₂²	C₂×#380	1	6	yes	—
323	C₂²	C₂×#380	1	6	yes	—
324	C₂²	C₂²×#100	1	6	yes	—
325	C₂²	C₂×#413	1	6	yes	—
326	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	4	8	no	—
332	C₄	C₂×#380	1	12	yes	—
333	C₄	C₂²×#100	1	8	yes	complemented
334	C₄	C₂²×#121	1	2	yes	—
335	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
336	C₂	—	2	1	no	—
337	C₂	—	2	1	no	—
338	C₂	—	2	6	no	—
339	C₂	—	4	16	no	—
340	C₂	C₂×#1800	1	12	yes	direct product factor
341	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂³×#100	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂²×#413	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#423	C₂	semidirect
4. C₂×#1800	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#343	C₂	semidirect
18. C₂×#423	C₂²	semidirect
23. #1800	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#343	C₂²	semidirect
68. #423	C₂³	semidirect
73. #343	C₂³	semidirect
208. C₂²×C₄	#100	semidirect
291. C₂×C₄	C₂×#100	semidirect
321. C₂²	#1800	direct (N × H)
333. C₄	C₂²×#100	semidirect
340. C₂	C₂×#1800	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×D₄	2
C₂²×#423	2
C₂³×#100	2
C₂×#1800	2
C₂²×#343	2

Subgroups — C22×#1800 #6370775

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1800 #6370775