Subgroups — #6370813

Order 512.

4722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#34044	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20663	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20662	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#20660	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20658	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	—	2	16	no	—
11	C₂²×#131	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#131	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#427	—	2	16	no	—
20	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#2311	C₂²	1	16	yes	—
27	#2310	—	2	2	no	—
28	#2309	—	2	2	no	—
29	#2308	—	2	4	no	—
30	#2297	—	2	8	no	—
31	#2280	C₂²	1	8	yes	—
32	#1809	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#1808	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1807	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1736	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1735	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	8	no	—
38	C₂²×#41	—	2	8	no	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×#41	D₄	1	4	yes	—
41	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	—	2	128	no	—
49	C₂×#131	—	2	16	no	—
50	C₂×#131	—	2	16	no	—
51	C₂×#131	—	2	16	no	—
52	C₂×#131	—	2	16	no	—
53	C₂×#131	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
54	C₂×#131	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
55	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
57	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
62	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
64	C₂³×C₈	D₄	1	16	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#117	—	2	4	no	—
73	C₂×#117	—	2	4	no	—
74	C₂×#117	—	2	16	no	—
75	C₂×#117	—	2	16	no	—
76	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
81	#427	—	2	16	no	—
82	#427	—	2	16	no	—
83	#427	—	2	16	no	—
84	#427	—	2	16	no	—
85	C₂×#107	—	2	16	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#106	—	2	16	no	—
89	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
91	#391	—	2	16	no	—
92	#390	—	2	16	no	—
93	#386	—	2	32	no	—
94	#381	—	2	8	no	—
95	#380	C₂³	1	32	yes	—
96	#379	—	2	8	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
98	#340	C₂³	1	32	yes	—
99	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#41	—	2	32	no	—
102	C₂×#41	—	2	32	no	—
103	C₂×#41	—	2	16	no	—
104	C₂×#41	—	2	16	no	—
105	C₂×#41	—	2	64	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂×#41	—	2	8	no	—
110	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
111	C₂×#41	C₂²×C₄	1	16	yes	—
112	C₂×#41	C₂×Q₈	1	16	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
119	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	#131	—	2	128	no	—
139	#131	—	2	128	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
148	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	64	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
152	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
170	#117	—	2	16	no	—
171	#117	—	2	16	no	—
172	#117	—	2	16	no	—
173	#117	—	2	16	no	—
174	#117	—	4	16	no	—
175	#117	—	4	16	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
187	#107	—	2	16	no	—
188	#107	—	2	16	no	—
189	#106	—	2	16	no	—
190	#106	—	2	16	no	—
191	#95	—	2	32	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	—	4	8	no	—
195	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂⁴	#121	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	#41	—	2	32	no	—
202	#41	—	2	32	no	—
203	#41	—	2	32	no	—
204	#41	—	2	32	no	—
205	#41	—	2	128	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
209	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	16	no	—
211	C₂×D₄	—	2	16	no	—
212	C₂×D₄	—	2	64	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	32	no	—
216	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
217	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	M₁₆	—	2	32	no	—
255	M₁₆	—	2	64	no	—
256	C₂×C₈	—	2	16	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	32	no	—
259	C₂×C₈	—	2	32	no	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
264	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
265	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
278	C₄²	—	4	16	no	—
279	C₄²	—	4	16	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	16	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	16	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	16	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	—	4	32	no	—
289	C₂³	#380	1	16	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
291	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	2	32	no	—
298	D₄	—	2	64	no	—
299	D₄	—	2	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	32	no	—
306	C₂×C₄	—	4	32	no	—
307	C₂×C₄	—	4	16	no	—
308	C₂×C₄	—	8	32	no	—
309	C₂×C₄	#380	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	#380	1	32	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	8	no	—
329	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
330	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
331	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	2	16	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	4	16	no	—
340	C₂²	—	4	32	no	—
341	C₂²	—	4	16	no	—
342	C₂²	C₂×#380	1	4	yes	—
343	C₂²	C₂×#380	1	8	yes	—
344	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
346	C₂²	#3584	1	4	yes	—
347	C₄	—	2	8	no	—
348	C₄	—	8	16	no	—
349	C₄	C₂×#380	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×#380	1	8	yes	—
351	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	—	2	8	no	—
356	C₂	—	4	8	no	—
357	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#60108	1	2	yes	—
359	C₂	#60450	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#427	C₂	semidirect
4. #20663	C₂	semidirect
5. #20662	C₂	semidirect
6. #20660	C₂	semidirect
7. #20658	C₂	semidirect
8. #20347	C₂	semidirect
11. C₂²×#131	C₄	semidirect
22. C₂×#427	C₂²	semidirect
23. C₂×#427	C₂²	semidirect
24. C₂²×#107	C₂²	semidirect
25. C₂²×#106	C₂²	semidirect
32. #1809	C₂²	semidirect
33. #1808	C₂²	semidirect
34. #1807	C₂²	semidirect
35. #1736	C₂²	semidirect
53. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
63. C₂³×C₈	C₂×C₄	semidirect
152. C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#131	2
C₂²×#427	2
#34044	2
#20663	2
#20662	2
#20660	2
#20658	2
#20347	2