Subgroups — C₂²×#1812 #6370823

Order 512.

4658 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#410	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1812	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×H(3,ℤ/4)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×#131	—	2	2	no	—
8	C₂²×#131	—	2	2	no	—
9	C₂²×#131	—	2	12	no	—
10	C₂²×#131	C₄	1	12	yes	complemented
11	C₂²×#131	C₂²	1	12	yes	—
12	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#427	—	2	12	no	—
18	C₂×#427	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂²×#107	—	2	2	no	—
20	C₂²×#106	—	2	2	no	—
21	C₂×#410	—	2	12	no	—
22	C₂×#410	C₂²	1	24	yes	—
23	C₂²×#99	—	2	4	no	—
24	#1812	C₂²	1	64	yes	direct product factor
25	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂²×#41	—	2	2	no	—
27	C₂²×#41	—	2	6	no	—
28	C₂²×#41	—	2	6	no	—
29	C₂²×#41	—	2	2	no	—
30	C₂²×#41	C₂×C₄	1	6	yes	—
31	C₂²×#41	D₄	1	6	yes	—
32	C₂²×#41	Q₈	1	6	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂³×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#131	—	2	24	no	—
40	C₂×#131	—	2	24	no	—
41	C₂×#131	—	2	48	no	—
42	C₂×#131	—	2	24	no	—
43	C₂×#131	—	2	24	no	—
44	C₂×#131	—	2	48	no	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
46	C₂×#131	C₂³	1	16	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	12	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₈	—	2	12	no	—
57	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
61	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
62	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	D₄	1	12	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#117	—	2	12	no	—
67	C₂×#117	—	2	12	no	—
68	C₂×#117	—	2	12	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
73	#427	—	2	48	no	—
74	#427	C₂³	1	32	yes	complemented
75	C₂×#107	—	2	24	no	—
76	C₂×#106	—	2	24	no	—
77	#410	—	2	48	no	—
78	#410	C₂³	1	32	yes	—
79	C₂×#99	—	2	48	no	—
80	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	32	yes	complemented
81	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#41	—	2	12	no	—
84	C₂×#41	—	2	12	no	—
85	C₂×#41	—	2	12	no	—
86	C₂×#41	—	2	12	no	—
87	C₂×#41	—	2	12	no	—
88	C₂×#41	—	2	12	no	—
89	C₂×#41	—	2	24	no	—
90	C₂×#41	—	2	12	no	—
91	C₂×#41	—	2	24	no	—
92	C₂×#41	—	2	12	no	—
93	C₂×#41	—	2	12	no	—
94	C₂×#41	—	2	12	no	—
95	C₂×#41	—	2	12	no	—
96	C₂×#41	—	2	12	no	—
97	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	12	yes	—
99	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
100	C₂×#41	C₂×Q₈	1	12	yes	—
101	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	6	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
111	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	6	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
129	C₂³×C₄	#41	1	6	yes	—
130	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
132	#131	—	2	96	no	—
133	#131	—	2	96	no	—
134	#131	—	2	32	no	—
135	#131	—	2	32	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
144	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	48	no	—
150	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	#117	—	2	24	no	—
168	#117	—	2	24	no	—
169	#117	—	2	24	no	—
170	#117	—	4	24	no	—
171	#117	C₂⁴	1	16	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
178	#107	—	2	32	no	—
179	#106	—	2	32	no	—
180	#99	—	2	64	no	—
181	C₂⁴	—	2	6	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	8	no	—
185	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
187	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
188	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
189	C₂⁴	#121	1	6	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
191	#41	—	2	24	no	—
192	#41	—	2	24	no	—
193	#41	—	2	24	no	—
194	#41	—	2	24	no	—
195	#41	—	2	24	no	—
196	#41	—	2	24	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	48	no	—
200	#41	—	2	48	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
205	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
206	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	24	no	—
208	C₂×D₄	—	2	24	no	—
209	C₂×D₄	—	2	24	no	—
210	C₂×D₄	—	2	24	no	—
211	C₂×D₄	—	2	12	no	—
212	C₂×D₄	—	2	12	no	—
213	C₂×D₄	—	2	12	no	—
214	C₂×D₄	—	2	12	no	—
215	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
216	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
217	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
218	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
239	C₂²×C₄	#117	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	#117	1	6	yes	—
241	C₂²×C₄	#117	1	6	yes	—
242	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#121	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	#121	1	12	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	2	24	no	—
263	M₁₆	—	2	8	no	—
264	M₁₆	—	2	64	no	—
265	C₂×C₈	—	2	12	no	—
266	C₂×C₈	—	2	12	no	—
267	C₂×C₈	—	2	32	no	—
268	C₂×C₈	—	2	32	no	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
276	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
277	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
285	C₄²	—	2	16	no	—
286	C₄²	—	4	24	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	12	no	—
290	C₂³	—	2	12	no	—
291	C₂³	—	4	6	no	—
292	C₂³	—	4	12	no	—
293	C₂³	—	4	6	no	—
294	C₂³	—	4	24	no	—
295	C₂³	—	4	24	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	#380	1	3	yes	—
298	C₂³	#380	1	6	yes	—
299	C₂³	#380	1	6	yes	—
300	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
302	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
304	C₂³	C₂×#121	1	6	yes	—
305	C₂³	C₂×#121	1	6	yes	—
306	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	2	8	no	—
308	Q₈	—	2	24	no	—
309	D₄	—	2	16	no	—
310	D₄	—	2	48	no	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	2	24	no	—
313	C₂×C₄	—	2	12	no	—
314	C₂×C₄	—	2	12	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	24	no	—
318	C₂×C₄	—	2	24	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	8	48	no	—
321	C₂×C₄	#380	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	#380	1	3	yes	—
323	C₂×C₄	#380	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	#380	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	#380	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	#380	1	12	yes	—
327	C₂×C₄	#380	1	12	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#117	1	3	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	3	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#117	1	6	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
343	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
347	C₈	—	2	8	no	—
348	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
349	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
350	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
351	C₂²	—	2	12	no	—
352	C₂²	—	2	6	no	—
353	C₂²	—	2	6	no	—
354	C₂²	—	2	12	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	4	3	no	—
357	C₂²	—	4	6	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	6	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	24	no	—
362	C₂²	—	4	24	no	—
363	C₂²	#1812	1	4	yes	direct product factor
364	C₂²	C₂×#380	1	3	yes	—
365	C₂²	C₂×#380	1	6	yes	—
366	C₂²	C₂×#380	1	3	yes	—
367	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	8	no	—
370	C₄	—	8	16	no	—
371	C₄	C₂×#380	1	3	yes	—
372	C₄	C₂×#380	1	3	yes	—
373	C₄	C₂×#380	1	6	yes	—
374	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	3	no	—
380	C₂	—	2	6	no	—
381	C₂	—	4	8	no	—
382	C₂	C₂×#1812	1	6	yes	direct product factor
383	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#117
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	#380
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#427	C₂	semidirect
4. C₂×#1812	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
10. C₂²×#131	C₄	semidirect
12. C₂³×M₁₆	C₄	semidirect
14. C₂⁴×C₈	C₄	semidirect
18. C₂×#427	C₂²	semidirect
24. #1812	C₂²	direct (N × H)
25. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
45. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
52. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
61. C₂³×C₈	C₂×C₄	semidirect
74. #427	C₂³	semidirect
80. H(3,ℤ/4)	C₂³	semidirect
143. C₂×M₁₆	C₂²×C₄	semidirect
162. C₂²×C₈	C₂²×C₄	semidirect
363. C₂²	#1812	direct (N × H)
382. C₂	C₂×#1812	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#131	2
C₂²×#427	2
C₂²×#410	2
C₂×#1812	2
C₂²×H(3,ℤ/4)	2

Subgroups — C22×#1812 #6370823

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1812 #6370823