Subgroups — C₂²×#1816 #6370830

Order 512.

4770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#417	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1816	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×#343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#131	—	2	8	no	—
9	C₂²×#131	—	2	6	no	—
10	C₂²×#131	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂²×#131	C₂²	1	12	yes	—
12	C₂³×M₁₆	—	2	1	no	—
13	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
16	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#108	—	2	8	no	—
19	C₂²×#108	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×#107	—	2	1	no	—
21	C₂²×#107	—	2	1	no	—
22	C₂²×#107	—	2	6	no	—
23	C₂²×#107	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂×#417	—	2	12	no	—
25	C₂×#417	C₂²	1	24	yes	—
26	C₂²×#103	—	2	2	no	—
27	C₂²×#102	—	2	2	no	—
28	#1816	C₂²	1	64	yes	direct product factor
29	C₂×#343	C₂²	1	24	yes	complemented
30	C₂²×#41	—	2	4	no	—
31	C₂²×#41	—	2	3	no	—
32	C₂²×#41	—	2	3	no	—
33	C₂²×#41	—	2	4	no	—
34	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×#41	D₄	1	6	yes	—
36	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
38	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
42	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#131	—	2	96	no	—
45	C₂×#131	—	2	48	no	—
46	C₂×#131	—	2	24	no	—
47	C₂×#131	C₂×C₄	1	96	yes	complemented
48	C₂×#131	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	12	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
55	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
61	C₂³×C₈	—	2	12	no	—
62	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	D₄	1	6	yes	—
67	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂×#108	—	2	48	no	—
76	C₂×#108	C₂³	1	16	yes	complemented
77	C₂×#107	—	2	12	no	—
78	C₂×#107	—	2	12	no	—
79	C₂×#107	—	2	24	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	complemented
81	#417	—	2	48	no	—
82	#417	C₂³	1	32	yes	—
83	C₂×#103	—	2	24	no	—
84	C₂×#102	—	2	24	no	—
85	#343	C₂³	1	32	yes	complemented
86	C₂⁵	—	2	1	no	—
87	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#41	—	2	24	no	—
89	C₂×#41	—	2	24	no	—
90	C₂×#41	—	2	12	no	—
91	C₂×#41	—	2	24	no	—
92	C₂×#41	—	2	24	no	—
93	C₂×#41	—	2	24	no	—
94	C₂×#41	—	2	12	no	—
95	C₂×#41	—	2	6	no	—
96	C₂×#41	—	2	6	no	—
97	C₂×#41	—	2	12	no	—
98	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	48	yes	—
99	C₂×#41	C₂²×C₄	1	24	yes	—
100	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
101	C₂×#41	C₂×Q₈	1	24	yes	—
102	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
113	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	#41	1	3	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
134	#131	—	2	192	no	—
135	#131	—	2	32	no	—
136	#131	C₂²×C₄	1	64	yes	complemented
137	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	96	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	24	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	96	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
155	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
173	#108	—	2	32	no	—
174	#107	—	2	16	no	—
175	#107	—	2	16	no	—
176	#103	—	2	32	no	—
177	#102	—	2	32	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	6	no	—
181	C₂⁴	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
185	C₂⁴	#121	1	3	yes	—
186	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
188	C₂⁴	C₂×#41	1	3	yes	—
189	#41	—	2	24	no	—
190	#41	—	2	24	no	—
191	#41	—	2	24	no	—
192	#41	—	2	24	no	—
193	#41	—	2	24	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	2	96	no	—
197	#41	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
198	#41	C₂³×C₄	1	8	yes	—
199	#41	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
200	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
203	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
204	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×D₄	—	2	24	no	—
206	C₂×D₄	—	2	12	no	—
207	C₂×D₄	—	2	24	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	48	no	—
210	C₂×D₄	—	2	12	no	—
211	C₂×D₄	—	2	6	no	—
212	C₂×D₄	—	2	24	no	—
213	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
214	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	24	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
232	C₂²×C₄	#117	1	12	yes	—
233	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	6	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
251	M₁₆	—	2	24	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	64	no	—
254	M₁₆	—	2	8	no	—
255	M₁₆	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	4	24	no	—
257	M₁₆	C₂³×C₄	1	8	yes	—
258	C₂×C₈	—	2	24	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	64	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	24	no	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
274	C₂³	—	2	16	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	2	6	no	—
277	C₂³	—	2	6	no	—
278	C₂³	—	2	6	no	—
279	C₂³	—	2	6	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	24	no	—
282	C₂³	—	4	32	no	—
283	C₂³	—	4	12	no	—
284	C₂³	—	4	12	no	—
285	C₂³	#380	1	12	yes	—
286	C₂³	#380	1	4	yes	—
287	C₂³	#472	1	4	yes	—
288	C₂³	#473	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂×#117	1	6	yes	—
290	C₂³	C₂×#121	1	3	yes	—
291	C₂³	C₂×#121	1	3	yes	—
292	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
293	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	2	24	no	—
296	Q₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
297	D₄	—	2	8	no	—
298	D₄	—	2	8	no	—
299	D₄	—	2	48	no	—
300	D₄	—	2	4	no	—
301	D₄	—	2	24	no	—
302	D₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	24	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	48	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	24	no	—
310	C₂×C₄	—	8	24	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	#380	1	12	yes	—
313	C₂×C₄	#380	1	12	yes	—
314	C₂×C₄	#380	1	24	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#117	1	6	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
327	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	8	no	—
334	C₈	—	4	8	no	—
335	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
336	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
337	C₂²	—	2	3	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	3	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	12	no	—
342	C₂²	—	2	12	no	—
343	C₂²	—	2	24	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	48	no	—
348	C₂²	#1816	1	16	yes	direct product factor
349	C₂²	C₂×#380	1	6	yes	—
350	C₂²	C₂×#380	1	6	yes	—
351	C₂²	C₂×#472	1	6	yes	—
352	C₂²	C₂×#473	1	6	yes	—
353	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	8	no	—
357	C₄	—	8	8	no	—
358	C₄	C₂×#380	1	6	yes	—
359	C₄	C₂×#380	1	6	yes	—
360	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	2	6	no	—
367	C₂	—	4	8	no	—
368	C₂	C₂×#1816	1	12	yes	direct product factor
369	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂²×#472	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂²×#473	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	#121
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×#108	C₂	semidirect
3. C₂³×#107	C₂	semidirect
5. C₂×#1816	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×#343	C₂	semidirect
10. C₂²×#131	C₄	semidirect
19. C₂²×#108	C₂²	semidirect
23. C₂²×#107	C₂²	semidirect
28. #1816	C₂²	direct (N × H)
29. C₂×#343	C₂²	semidirect
47. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×#108	C₂³	semidirect
80. C₂×#107	C₂³	semidirect
85. #343	C₂³	semidirect
136. #131	C₂²×C₄	semidirect
348. C₂²	#1816	direct (N × H)
368. C₂	C₂×#1816	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#131	2
C₂³×#108	2
C₂³×#107	2
C₂²×#417	2
C₂×#1816	2
C₂²×#343	2

Subgroups — C22×#1816 #6370830

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1816 #6370830