Subgroups — #6370835

Order 512.

4609 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#34182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20634	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#20632	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#20355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
9	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
10	C₂×#520	C₄	1	4	yes	complemented
11	C₂×#520	C₂²	1	6	yes	—
12	C₂×#519	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#519	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×C₄×#41	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2884	—	2	16	no	—
20	C₂×#410	C₂²	1	24	yes	—
21	#2351	—	2	8	no	—
22	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
23	#2316	C₂²	1	12	yes	—
24	#2285	C₂²	1	12	yes	—
25	#1799	C₂²	1	16	yes	—
26	#1799	C₂²	1	48	yes	—
27	#1740	C₂²	1	24	yes	—
28	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
29	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
30	C₂×2₋¹⁺⁴	D₄	1	8	yes	—
31	C₂×2₋¹⁺⁴	Q₈	1	8	yes	—
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	#520	—	2	32	no	—
37	#520	—	2	48	no	—
38	#519	—	2	8	no	—
39	#519	—	2	32	no	—
40	#519	—	2	16	no	—
41	#519	—	2	16	no	—
42	C₄×#41	—	2	16	no	—
43	C₄×#41	—	2	16	no	—
44	C₄×#41	—	2	24	no	—
45	C₄×#41	—	2	24	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	12	yes	—
64	C₂×#117	C₂×C₄	1	12	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	24	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
71	#410	—	2	96	no	—
72	C₂×#99	C₂³	1	32	yes	—
73	#389	—	2	48	no	—
74	#384	—	2	12	no	—
75	#382	—	2	12	no	—
76	#380	C₂³	1	24	yes	—
77	#380	C₂³	1	8	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
80	#342	C₂³	1	32	yes	—
81	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
82	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
83	C₂×#41	—	2	16	no	—
84	C₂×#41	—	2	16	no	—
85	C₂×#41	—	2	24	no	—
86	C₂×#41	—	2	24	no	—
87	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
88	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
89	C₂×#41	C₂×Q₈	1	24	yes	—
90	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
92	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
93	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
107	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
108	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
113	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
114	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
115	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
116	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	48	no	—
120	C₄×D₄	—	2	48	no	—
121	C₄×D₄	—	2	12	no	—
122	C₄×D₄	—	2	12	no	—
123	C₄×D₄	—	2	24	no	—
124	#117	—	2	24	no	—
125	#117	—	2	48	no	—
126	#117	—	2	48	no	—
127	#117	—	2	48	no	—
128	#117	—	2	48	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
153	#99	—	2	64	no	—
154	#95	—	2	8	no	—
155	#95	—	2	24	no	—
156	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
158	#41	—	2	128	no	—
159	#41	—	2	96	no	—
160	#41	—	2	96	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	128	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
165	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
166	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
167	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
168	C₂×Q₈	#121	1	32	yes	—
169	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	12	no	—
173	C₂×D₄	—	2	12	no	—
174	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
175	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
208	C₄⋊C₄	—	8	24	no	—
209	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	24	no	—
218	C₄²	—	2	24	no	—
219	C₄²	—	4	48	no	—
220	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
221	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
222	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	4	1	no	—
226	C₂³	—	4	1	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	4	4	no	—
229	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
230	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
235	Q₈	—	2	48	no	—
236	Q₈	#380	1	64	yes	—
237	D₄	—	2	16	no	—
238	D₄	—	2	16	no	—
239	D₄	—	2	48	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	96	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	12	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	6	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂×C₄	—	4	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	16	no	—
258	C₂×C₄	—	8	24	no	—
259	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#121	1	24	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	2	1	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	1	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	4	1	no	—
275	C₂²	—	4	1	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	4	8	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	12	no	—
289	C₄	—	2	8	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	8	16	no	—
293	C₄	C₂×#380	1	24	yes	—
294	C₄	#2884	1	2	yes	complemented
295	C₂	—	2	2	no	—
296	C₂	—	2	1	no	—
297	C₂	—	2	1	no	—
298	C₂	—	2	2	no	—
299	C₂	—	4	8	no	—
300	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#2884	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#60070	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #34182	C₂	semidirect
4. #20634	C₂	semidirect
5. #20632	C₂	semidirect
6. #20355	C₂	semidirect
10. C₂×#520	C₄	semidirect
12. C₂×#519	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×#41	C₄	semidirect
17. C₂²×C₄×Q₈	C₄	semidirect
87. C₂×#41	C₄⋊C₄	semidirect
92. C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
294. C₄	#2884	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#2884	2
#34182	2
#20634	2
#20632	2
#20355	2