Subgroups — #6370925

Order 512.

4490 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20719	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20718	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20683	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20627	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20580	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#407	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	—	2	16	no	—
11	C₂×C₄×#41	C₄	1	8	yes	—
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2920	—	2	16	no	—
22	C₂×#432	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#431	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#407	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
28	#1818	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1798	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#1780	C₂²	1	16	yes	—
31	#1749	C₂²	1	16	yes	complemented
32	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#1728	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂²×#41	—	2	8	no	—
35	C₂²×#41	—	2	16	no	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
46	C₄×#41	—	2	64	no	—
47	C₄×#41	—	2	32	no	—
48	C₄×#41	—	2	32	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#117	—	2	8	no	—
59	C₂×#117	—	2	16	no	—
60	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	#432	—	2	32	no	—
82	#431	—	2	32	no	—
83	#423	—	2	16	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
85	#407	—	2	16	no	—
86	#407	—	2	32	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
89	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
90	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
92	#336	C₂³	1	32	yes	—
93	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×#41	—	2	128	no	—
96	C₂×#41	—	2	16	no	—
97	C₂×#41	—	2	32	no	—
98	C₂×#41	—	2	16	no	—
99	C₂×#41	—	2	32	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
136	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
138	C₄×D₄	—	2	64	no	—
139	C₄×D₄	—	2	64	no	—
140	C₄×D₄	—	2	32	no	—
141	C₄×D₄	—	2	32	no	—
142	#117	—	2	16	no	—
143	#117	—	2	16	no	—
144	#117	—	2	32	no	—
145	#117	—	2	32	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
154	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	64	no	—
179	#97	—	2	16	no	—
180	C₄×C₈	—	2	16	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	4	8	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂⁴	#117	1	8	yes	—
188	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	2	128	no	—
192	#41	—	2	128	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
196	C₂×D₄	—	2	32	no	—
197	C₂×D₄	—	2	64	no	—
198	C₂×D₄	—	2	16	no	—
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
232	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	16	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	4	32	no	—
247	C₂×C₈	—	2	16	no	—
248	C₂×C₈	—	2	32	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	2	16	no	—
255	C₄²	—	2	16	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
258	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
260	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
261	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	16	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	16	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	2	32	no	—
283	D₄	—	2	32	no	—
284	D₄	—	2	64	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	32	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	32	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	32	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	32	no	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
313	C₂×C₄	#568	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×#41	1	4	yes	—
316	C₈	—	4	16	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	16	no	—
323	C₂²	—	4	16	no	—
324	C₂²	—	4	32	no	—
325	C₂²	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	#2280	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#568	1	4	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	8	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	4	8	no	—
337	C₄	#2280	1	4	yes	—
338	C₄	#2879	1	8	yes	—
339	C₄	C₂×#525	1	4	yes	—
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	—	4	4	no	—
342	C₂	—	4	8	no	—
343	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#2879	1	2	yes	—
345	C₂	#60123	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2920	C₂	semidirect
3. #20719	C₂	semidirect
4. #20718	C₂	semidirect
5. #20683	C₂	semidirect
6. #20627	C₂	semidirect
8. C₄×#407	C₂	semidirect
22. C₂×#432	C₂²	semidirect
23. C₂×#431	C₂²	semidirect
28. #1818	C₂²	semidirect
29. #1798	C₂²	semidirect
31. #1749	C₂²	semidirect
32. C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2920	2
#20719	2
#20718	2
#20683	2
#20627	2
#20580	2
C₄×#407	2