Subgroups — #6371201

Order 512.

2026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60123	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20831	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20829	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20828	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20768	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20669	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20668	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#430	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#1778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2923	—	2	8	no	—
17	#2922	—	2	8	no	—
18	#2921	C₂²	1	8	yes	—
19	#2920	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
22	#2905	C₂²	1	4	yes	—
23	#2879	C₂²	1	4	yes	—
24	#2875	C₄	1	16	yes	—
25	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1849	C₂²	1	8	yes	—
35	#1848	C₂²	1	8	yes	—
36	#1838	C₂²	1	8	yes	—
37	#1837	C₂²	1	8	yes	—
38	#1811	C₂²	1	8	yes	—
39	#1811	C₂²	1	8	yes	—
40	#1810	C₂²	1	8	yes	—
41	#1810	C₂²	1	8	yes	—
42	#1778	C₂²	1	4	yes	—
43	#1778	C₂²	1	4	yes	—
44	#1778	C₂²	1	4	yes	—
45	#1778	C₂²	1	8	yes	—
46	#1778	C₂²	1	4	yes	—
47	C₄×#108	C₂²	1	8	yes	—
48	#1738	C₂²	1	4	yes	—
49	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
50	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#131	—	2	8	no	—
52	C₂×#131	—	2	8	no	—
53	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	#433	—	2	32	no	—
74	#432	—	2	16	no	—
75	#431	—	2	16	no	—
76	#430	—	2	16	no	—
77	C₂×#108	—	2	16	no	—
78	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#108	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
81	#424	—	2	16	no	—
82	#423	C₂³	1	16	yes	—
83	#408	—	2	16	no	—
84	#407	C₂³	1	16	yes	—
85	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
87	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
88	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
89	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
94	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#97	—	2	4	no	—
96	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	—
97	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
98	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	#341	C₂³	1	8	yes	—
110	#341	C₂³	1	16	yes	—
111	#341	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	2	32	no	—
124	#131	—	2	32	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
153	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
154	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
155	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#108	—	2	16	no	—
173	#108	—	2	16	no	—
174	#108	—	2	32	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
177	#97	—	2	8	no	—
178	#97	—	2	8	no	—
179	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
186	C₄×C₈	—	2	8	no	—
187	C₄×C₈	—	2	8	no	—
188	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	8	no	—
194	#41	—	2	8	no	—
195	#41	—	2	16	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
201	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	2	16	no	—
222	M₁₆	—	2	16	no	—
223	M₁₆	—	2	16	no	—
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	M₁₆	—	4	16	no	—
226	M₁₆	#117	1	16	yes	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	16	no	—
232	C₂×C₈	—	2	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	16	no	—
234	C₂×C₈	—	4	16	no	—
235	C₂×C₈	#117	1	16	yes	—
236	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
247	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
248	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
250	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
251	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂³	#533	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	D₄	—	2	16	no	—
266	D₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	16	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#532	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	4	no	—
292	C₈	—	4	16	no	—
293	C₈	C₂×#117	1	4	yes	—
294	C₈	C₂×#117	1	8	yes	—
295	C₈	C₂×#117	1	4	yes	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	8	no	—
302	C₂²	#2285	1	4	yes	—
303	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×#533	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	2	8	no	—
308	C₄	—	2	4	no	—
309	C₄	#2285	1	4	yes	—
310	C₄	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
311	C₄	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₂×#532	1	2	yes	—
313	C₂	—	2	2	no	—
314	C₂	—	2	4	no	—
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	C₂×#2285	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#60113	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20831	C₂	semidirect
4. #20830	C₂	semidirect
5. #20829	C₂	semidirect
6. #20828	C₂	semidirect
7. #20807	C₂	semidirect
8. #20768	C₂	semidirect
11. C₄×#430	C₂	semidirect
12. C₂×#1778	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60123	2
C₂×#2875	2
#20831	2
#20830	2
#20829	2
#20828	2
#20807	2
#20768	2
#20669	2
#20668	2
C₄×#430	2
C₂×#1778	2