Subgroups — #6371204

Order 512.

2026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60125	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20829	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20827	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20769	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20668	C₂	1	4	yes	maximal
9	#20460	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2925	—	2	16	no	—
13	#2921	C₂²	1	8	yes	—
14	#2920	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
17	#2879	C₂²	1	4	yes	—
18	#2875	C₄	1	16	yes	—
19	#2873	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	#1849	C₂²	1	4	yes	—
27	#1849	C₂²	1	8	yes	—
28	#1849	C₂²	1	4	yes	—
29	#1838	C₂²	1	8	yes	—
30	#1837	C₂²	1	8	yes	—
31	#1811	C₂²	1	16	yes	—
32	#1810	C₂²	1	16	yes	—
33	#1778	C₂²	1	16	yes	—
34	C₄×#108	C₂²	1	16	yes	—
35	#1738	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#131	—	2	16	no	—
38	C₂×#131	C₂×C₄	1	16	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	#433	—	2	32	no	—
54	#432	—	2	16	no	—
55	#431	—	2	16	no	—
56	C₂×#108	—	2	32	no	—
57	C₂×#108	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂×#108	C₂³	1	16	yes	—
59	#423	—	2	8	no	—
60	#423	C₂³	1	8	yes	—
61	#423	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
63	#408	—	2	16	no	—
64	#407	C₂³	1	16	yes	—
65	#405	—	2	16	no	—
66	#405	C₂×C₄	1	32	yes	—
67	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₄×M₁₆	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#341	C₂³	1	32	yes	—
81	C₂×#41	—	2	8	no	—
82	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	#131	—	2	64	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
99	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂²×C₈	#41	1	16	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
107	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
108	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
109	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
110	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#108	—	2	32	no	—
128	#108	—	2	32	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
132	#97	—	2	16	no	—
133	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	#97	C₂²×C₄	1	16	yes	—
137	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₄×C₈	—	2	16	no	—
139	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
141	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	#41	—	2	16	no	—
144	#41	—	2	8	no	—
145	#41	—	2	8	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
151	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
155	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
168	M₁₆	—	2	16	no	—
169	M₁₆	—	2	32	no	—
170	M₁₆	—	2	32	no	—
171	M₁₆	—	4	16	no	—
172	C₂×C₈	—	2	8	no	—
173	C₂×C₈	—	2	32	no	—
174	C₂×C₈	—	2	16	no	—
175	C₂×C₈	—	4	16	no	—
176	C₂×C₈	#117	1	32	yes	—
177	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
181	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
182	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
183	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
185	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
187	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
188	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
189	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
190	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
191	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
192	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
193	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	4	no	—
197	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂³	#533	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	2	8	no	—
202	D₄	—	2	16	no	—
203	D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₄	—	4	16	no	—
210	C₂×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
218	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂²×#41	1	4	yes	—
224	C₈	—	2	8	no	—
225	C₈	—	4	16	no	—
226	C₈	C₂×#117	1	8	yes	—
227	C₈	C₂×#117	1	8	yes	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	8	no	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	8	no	—
234	C₂²	#2285	1	4	yes	—
235	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂×#533	1	2	yes	—
237	C₄	—	2	4	no	—
238	C₄	—	2	4	no	—
239	C₄	—	2	8	no	—
240	C₄	—	2	4	no	—
241	C₄	#2285	1	4	yes	—
242	C₄	C₂²×#117	1	2	yes	—
243	C₄	C₂×#532	1	2	yes	—
244	C₂	—	2	2	no	—
245	C₂	—	2	4	no	—
246	C₂	—	4	4	no	—
247	C₂	C₂×#2285	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#60113	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20830	C₂	semidirect
4. #20829	C₂	semidirect
5. #20827	C₂	semidirect
6. C₂×#1849	C₂	semidirect
7. #20769	C₂	semidirect
9. #20460	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60125	2
C₂×#2875	2
#20830	2
#20829	2
#20827	2
C₂×#1849	2
#20769	2
#20668	2
#20460	2