Subgroups — C₂²×#1888 #6371448

Order 512.

6866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#418	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂³×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1888	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×#339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#124	—	2	8	no	—
11	C₂²×#124	—	2	6	no	—
12	C₂²×#124	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#124	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂×#519	—	2	6	no	—
15	C₂×#519	—	2	12	no	—
16	C₂×#519	C₂²	1	12	yes	complemented
17	C₂²×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
18	C₂²×#117	—	2	2	no	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#418	—	2	12	no	—
23	C₂×#418	C₂²	1	24	yes	—
24	C₂²×#102	—	2	4	no	—
25	C₂²×#101	—	2	8	no	—
26	C₂²×#101	C₂²	1	12	yes	complemented
27	#1888	C₂²	1	64	yes	direct product factor
28	C₂×#339	C₂²	1	24	yes	complemented
29	C₂⁶	—	2	1	no	—
30	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂³×Q₈	—	2	6	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂³×Q₈	D₄	1	8	yes	—
35	C₂³×Q₈	D₄	1	6	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
45	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#124	—	2	96	no	—
53	C₂×#124	—	2	48	no	—
54	C₂×#124	—	2	24	no	—
55	C₂×#124	C₂×C₄	1	96	yes	complemented
56	C₂×#124	C₂³	1	16	yes	—
57	#519	—	2	48	no	—
58	#519	—	2	24	no	—
59	#519	—	2	48	no	—
60	#519	C₂³	1	16	yes	complemented
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
63	C₂×#117	—	2	24	no	—
64	C₂×#117	—	2	24	no	—
65	C₂×#117	—	2	6	no	—
66	C₂×#117	—	2	6	no	—
67	C₂×#117	D₄	1	12	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
74	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
76	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
80	#418	—	2	48	no	—
81	#418	C₂³	1	32	yes	—
82	C₂×#102	—	2	48	no	—
83	C₂×#101	—	2	48	no	—
84	C₂×#101	C₂³	1	16	yes	complemented
85	#339	C₂³	1	32	yes	complemented
86	C₂⁵	—	2	8	no	—
87	C₂⁵	—	2	6	no	—
88	C₂⁵	—	4	16	no	—
89	C₂⁵	—	4	3	no	—
90	C₂⁵	—	4	1	no	—
91	C₂⁵	—	4	4	no	—
92	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
139	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
146	#124	—	2	192	no	—
147	#124	—	2	32	no	—
148	#124	C₂²×C₄	1	64	yes	complemented
149	C₄×Q₈	—	2	192	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
151	#117	—	2	96	no	—
152	#117	—	2	24	no	—
153	#117	—	2	32	no	—
154	#117	—	2	12	no	—
155	#117	—	2	12	no	—
156	#117	C₂×D₄	1	24	yes	—
157	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
173	#102	—	2	64	no	—
174	#101	—	2	32	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	24	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	64	no	—
179	C₂⁴	—	4	48	no	—
180	C₂⁴	—	4	6	no	—
181	C₂⁴	—	4	6	no	—
182	C₂⁴	—	4	12	no	—
183	C₂⁴	—	4	24	no	—
184	C₂⁴	—	4	8	no	—
185	C₂⁴	—	8	32	no	—
186	C₂⁴	—	8	24	no	—
187	C₂⁴	—	8	8	no	—
188	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂⁴	#120	1	3	yes	—
190	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
203	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
204	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
205	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
206	C₂×D₄	—	2	24	no	—
207	C₂×D₄	—	2	48	no	—
208	C₂×D₄	—	2	48	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	12	no	—
213	C₂×D₄	—	4	24	no	—
214	C₂×D₄	—	4	24	no	—
215	C₂×D₄	—	4	12	no	—
216	C₂×D₄	—	4	48	no	—
217	C₂×D₄	—	4	48	no	—
218	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	24	yes	—
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	#120	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	#120	1	6	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	24	yes	—
238	C₂²×C₄	#123	1	12	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	24	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	24	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
258	C₄²	—	2	64	no	—
259	C₄²	—	2	24	no	—
260	C₄²	—	2	24	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
264	C₂³	—	2	16	no	—
265	C₂³	—	2	16	no	—
266	C₂³	—	2	12	no	—
267	C₂³	—	2	12	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	4	96	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	24	no	—
274	C₂³	—	4	24	no	—
275	C₂³	—	8	48	no	—
276	C₂³	—	8	96	no	—
277	C₂³	—	8	24	no	—
278	C₂³	—	8	32	no	—
279	C₂³	—	8	24	no	—
280	C₂³	#386	1	12	yes	—
281	C₂³	#386	1	4	yes	—
282	C₂³	#454	1	8	yes	—
283	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
284	C₂³	C₂×#120	1	3	yes	—
285	C₂³	C₂×#120	1	3	yes	—
286	C₂³	C₂×#123	1	6	yes	—
287	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	16	no	—
289	Q₈	—	2	16	no	—
290	Q₈	—	2	96	no	—
291	D₄	—	2	16	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	48	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	48	no	—
297	C₂×C₄	—	2	48	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	48	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	48	no	—
303	C₂×C₄	#386	1	24	yes	—
304	C₂×C₄	#386	1	24	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#123	1	6	yes	—
313	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	2	12	no	—
319	C₂²	—	2	12	no	—
320	C₂²	—	2	24	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	6	no	—
323	C₂²	—	4	16	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	—	8	8	no	—
326	C₂²	—	8	48	no	—
327	C₂²	—	8	48	no	—
328	C₂²	—	8	8	no	—
329	C₂²	#1888	1	16	yes	direct product factor
330	C₂²	C₂×#386	1	6	yes	—
331	C₂²	C₂×#386	1	6	yes	—
332	C₂²	C₂×#454	1	12	yes	—
333	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	16	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	4	16	no	—
339	C₄	C₂×#386	1	12	yes	—
340	C₄	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
341	C₄	C₂²×#121	1	2	yes	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	6	no	—
345	C₂	—	8	8	no	—
346	C₂	C₂×#1888	1	12	yes	direct product factor
347	C₂	C₂²×#386	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂²×#454	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	#120
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#519	C₂	semidirect
4. C₂³×#101	C₂	semidirect
5. C₂×#1888	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×#339	C₂	semidirect
12. C₂²×#124	C₄	semidirect
16. C₂×#519	C₂²	semidirect
26. C₂²×#101	C₂²	semidirect
27. #1888	C₂²	direct (N × H)
28. C₂×#339	C₂²	semidirect
55. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
60. #519	C₂³	semidirect
84. C₂×#101	C₂³	semidirect
85. #339	C₂³	semidirect
148. #124	C₂²×C₄	semidirect
329. C₂²	#1888	direct (N × H)
346. C₂	C₂×#1888	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#124	2
C₂²×#519	2
C₂²×#418	2
C₂³×#101	2
C₂×#1888	2
C₂²×#339	2

Subgroups — C22×#1888 #6371448

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1888 #6371448