Subgroups — #6371506

Order 512.

6130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#34173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20986	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#20983	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
7	#20355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3486	—	2	8	no	—
11	#3486	—	2	4	no	—
12	#3486	—	2	4	no	—
13	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#548	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#536	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×#525	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#519	—	2	4	no	—
18	C₂×#519	—	2	16	no	—
19	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#519	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
24	C₂²×#117	C₂²	1	6	yes	—
25	#2884	—	2	16	no	—
26	C₂×#410	C₂²	1	24	yes	—
27	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
28	#2310	C₂²	1	6	yes	—
29	#2280	C₂²	1	6	yes	—
30	#1899	C₂²	1	48	yes	—
31	#1898	C₂²	1	16	yes	—
32	#1740	C₂²	1	24	yes	—
33	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
35	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
37	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
38	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
43	C₂³×Q₈	D₄	1	8	yes	—
44	C₂³×Q₈	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×Q₈	D₄	1	4	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
49	D₄×Q₈	—	2	32	no	—
50	D₄×Q₈	—	2	32	no	—
51	#548	—	2	32	no	—
52	#548	—	2	32	no	—
53	#536	—	2	24	no	—
54	#536	—	2	24	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
57	#525	—	2	12	no	—
58	#525	—	2	12	no	—
59	#525	—	2	24	no	—
60	C₂×#123	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
63	C₂×#121	C₂×C₄	1	12	yes	—
64	C₂×#120	C₂³	1	4	yes	—
65	#519	—	2	64	no	—
66	#519	—	2	8	no	—
67	#519	—	2	4	no	—
68	#519	—	2	4	no	—
69	#519	—	2	8	no	—
70	#519	—	2	8	no	—
71	#519	—	2	48	no	—
72	#519	D₄	1	16	yes	complemented
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	64	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
79	C₂×#117	—	2	6	no	—
80	C₂×#117	—	2	6	no	—
81	C₂×#117	—	2	48	no	—
82	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
87	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄²	—	2	6	no	—
89	#410	—	2	96	no	—
90	C₂×#99	C₂³	1	32	yes	—
91	#391	—	2	24	no	—
92	#381	C₂³	1	12	yes	—
93	#380	—	2	12	no	—
94	#379	C₂³	1	4	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
96	#342	C₂³	1	32	yes	—
97	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	4	32	no	—
100	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
101	C₂×#41	—	2	16	no	—
102	C₂×#41	—	2	32	no	—
103	C₂×#41	—	2	12	no	—
104	C₂×#41	—	2	12	no	—
105	C₂×#41	—	2	24	no	—
106	C₂×#41	—	2	24	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
142	#124	—	2	48	no	—
143	#123	—	2	24	no	—
144	#123	—	2	24	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
148	#121	—	2	24	no	—
149	#121	—	2	24	no	—
150	#120	—	2	4	no	—
151	#120	—	2	8	no	—
152	#120	—	2	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	192	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
157	C₄×D₄	—	2	48	no	—
158	C₄×D₄	—	2	48	no	—
159	#117	—	2	48	no	—
160	#117	—	2	48	no	—
161	#117	—	2	24	no	—
162	#117	—	2	12	no	—
163	#117	—	2	12	no	—
164	#117	—	2	48	no	—
165	#117	—	2	24	no	—
166	#117	—	2	24	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	48	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
187	#99	—	2	64	no	—
188	#95	—	2	24	no	—
189	C₂⁴	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	4	no	—
192	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	4	64	no	—
199	#41	—	4	24	no	—
200	#41	—	4	48	no	—
201	#41	—	4	24	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	128	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	128	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
211	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
213	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	32	yes	—
214	C₂×Q₈	#120	1	16	yes	—
215	C₂×Q₈	#121	1	32	yes	—
216	C₂×Q₈	#123	1	16	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	12	no	—
224	C₂×D₄	—	2	24	no	—
225	C₂×D₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
268	C₄²	—	2	48	no	—
269	C₄²	—	2	24	no	—
270	C₄²	—	2	48	no	—
271	C₄²	—	4	24	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
297	Q₈	—	2	96	no	—
298	Q₈	—	4	24	no	—
299	Q₈	#386	1	64	yes	—
300	D₄	—	4	16	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	24	no	—
306	C₂×C₄	—	2	12	no	—
307	C₂×C₄	—	2	6	no	—
308	C₂×C₄	—	2	12	no	—
309	C₂×C₄	—	2	6	no	—
310	C₂×C₄	—	2	48	no	—
311	C₂×C₄	—	2	48	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	32	no	—
317	C₂×C₄	—	4	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	48	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	24	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	24	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#123	1	12	yes	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	#2884	1	4	yes	complemented
348	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
353	C₄	—	2	12	no	—
354	C₄	—	4	16	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	8	8	no	—
358	C₄	C₂×#386	1	24	yes	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	2	4	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	—	8	4	no	—
366	C₂	C₂²×#386	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#2884	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#3486	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#519	C₂	semidirect
3. C₂×#2884	C₂	semidirect
4. #34173	C₂	semidirect
5. #20986	C₂	semidirect
6. #20983	C₂	semidirect
7. #20355	C₂	semidirect
13. C₂×D₄×Q₈	C₄	semidirect
14. C₂×#548	C₄	semidirect
37. C₂²×#41	C₂×C₄	semidirect
42. C₂³×Q₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
56. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
72. #519	D₄	semidirect
77. C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
347. C₂²	#2884	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3486	2
C₂²×#519	2
C₂×#2884	2
#34173	2
#20986	2
#20983	2
#20355	2