Subgroups — #6371547

Order 512.

6255 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#62652	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#60093	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21012	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1911	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
7	#20338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#3500	C₄	1	8	yes	complemented
12	#3498	C₄	1	8	yes	complemented
13	#3488	—	2	8	no	—
14	#3487	—	2	2	no	—
15	#3484	—	2	6	no	—
16	#3449	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#535	C₂²	1	6	yes	—
18	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
19	#3428	—	2	2	no	—
20	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3428	C₂²	1	2	yes	—
22	#3428	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂×#518	—	2	6	no	—
24	C₂×#518	C₂²	1	6	yes	complemented
25	#2901	—	2	16	no	—
26	C₂×#421	C₂²	1	24	yes	complemented
27	#2888	—	2	8	no	—
28	C₂×#413	C₂²	1	6	yes	complemented
29	C₂²×#100	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#1912	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1911	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	24	yes	complemented
33	#585	—	2	8	no	—
34	#585	—	2	8	no	—
35	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
38	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
39	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
40	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
42	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	8	yes	—
43	C₂²×#41	—	2	4	no	—
44	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
45	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₄	D₄	1	6	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
50	#568	—	2	8	no	—
51	#568	—	2	8	no	—
52	C₂×#131	—	2	8	no	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
54	#550	—	2	16	no	—
55	#548	—	2	16	no	—
56	#546	—	2	48	no	—
57	D₄²	—	2	48	no	—
58	#537	—	2	12	no	—
59	#536	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
60	#536	C₂³	1	4	yes	—
61	#535	—	2	12	no	—
62	#535	—	2	12	no	—
63	#535	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
64	#535	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
65	#535	C₂³	1	12	yes	—
66	#534	—	2	12	no	—
67	#532	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
68	C₂×#127	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
69	C₂×#124	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
70	#525	—	2	12	no	—
71	#525	—	2	12	no	—
72	C₂×#121	—	2	12	no	—
73	C₂×#120	—	2	12	no	—
74	#520	—	2	16	no	—
75	#520	—	2	8	no	—
76	#520	—	2	4	no	—
77	#520	—	2	24	no	—
78	#519	—	2	2	no	—
79	#519	—	2	1	no	—
80	#519	C₂³	1	4	yes	—
81	#518	—	2	48	no	—
82	#518	—	2	6	no	—
83	#518	—	2	12	no	—
84	#518	—	2	12	no	—
85	#518	—	2	3	no	—
86	#518	—	2	24	no	—
87	#518	C₂³	1	12	yes	—
88	C₄×#41	—	2	16	no	—
89	C₄×#41	—	2	24	no	—
90	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	C₄×#41	D₄	1	16	yes	complemented
92	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
93	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
94	C₂×#117	—	2	12	no	—
95	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
97	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
98	#421	—	2	48	no	—
99	#421	C₂³	1	32	yes	—
100	C₂×#104	—	2	48	no	—
101	#413	—	2	24	no	—
102	C₂×#101	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#100	—	2	24	no	—
104	C₂×#100	C₂³	1	12	yes	—
105	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	32	yes	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	6	yes	—
107	2₋¹⁺⁴	—	2	32	no	—
108	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
109	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
110	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
111	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
112	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
113	H(5,𝔽₂)	—	4	12	no	—
114	H(5,𝔽₂)	—	4	12	no	—
115	C₂×#41	—	2	4	no	—
116	C₂×#41	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂×#41	—	2	12	no	—
119	C₂×#41	—	2	12	no	—
120	C₂×#41	—	2	6	no	—
121	C₂×#41	—	2	6	no	—
122	C₂×#41	—	2	12	no	—
123	C₂×#41	—	2	24	no	—
124	C₂×#41	—	2	24	no	—
125	C₂×#41	—	4	32	no	—
126	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
127	C₂×#41	C₂²×C₄	1	12	yes	—
128	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×#41	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
130	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
131	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
134	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	complemented
137	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
146	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
147	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	complemented
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
152	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
158	#131	—	4	32	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
163	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
164	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
165	#127	—	2	24	no	—
166	#127	C₂²×C₄	1	24	yes	complemented
167	#124	—	2	24	no	—
168	#124	C₂²×C₄	1	24	yes	complemented
169	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
170	#123	—	2	24	no	—
171	#123	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
174	#121	—	2	48	no	—
175	#121	—	2	48	no	—
176	#121	—	2	24	no	—
177	#121	—	2	24	no	—
178	#120	—	2	48	no	—
179	#120	—	2	24	no	—
180	#120	—	2	24	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
184	C₄×D₄	—	2	96	no	—
185	C₄×D₄	—	2	96	no	—
186	C₄×D₄	—	2	24	no	—
187	C₄×D₄	—	2	48	no	—
188	C₄×D₄	—	2	48	no	—
189	C₄×D₄	—	2	48	no	—
190	#117	—	2	24	no	—
191	#117	—	2	24	no	—
192	#117	—	2	8	no	—
193	#117	—	2	12	no	—
194	#117	—	2	12	no	—
195	#117	—	2	6	no	—
196	#117	—	2	6	no	—
197	#117	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
198	#117	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
199	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
200	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
211	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
213	#104	—	2	64	no	—
214	#101	—	2	8	no	—
215	#100	—	2	24	no	—
216	C₂⁴	—	2	12	no	—
217	C₂⁴	—	2	12	no	—
218	C₂⁴	—	2	6	no	—
219	C₂⁴	—	16	6	no	—
220	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
223	#41	—	2	64	no	—
224	#41	—	2	48	no	—
225	#41	—	2	48	no	—
226	#41	—	2	48	no	—
227	#41	—	2	8	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	4	16	no	—
230	#41	—	4	48	no	—
231	#41	—	4	12	no	—
232	#41	—	4	24	no	—
233	#41	—	4	12	no	—
234	#41	C₄×D₄	1	32	yes	—
235	#41	#121	1	32	yes	—
236	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
241	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
243	C₂×Q₈	#123	1	4	yes	—
244	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
245	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
246	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	—	2	12	no	—
248	C₂×D₄	—	2	12	no	—
249	C₂×D₄	—	2	192	no	—
250	C₂×D₄	—	2	12	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	48	no	—
253	C₂×D₄	—	2	6	no	—
254	C₂×D₄	—	2	48	no	—
255	C₂×D₄	—	2	24	no	—
256	C₂×D₄	—	2	12	no	—
257	C₂×D₄	—	2	48	no	—
258	C₂×D₄	—	2	12	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	—	2	6	no	—
261	C₂×D₄	—	4	12	no	—
262	C₂×D₄	—	4	12	no	—
263	C₂×D₄	—	4	48	no	—
264	C₂×D₄	—	16	24	no	—
265	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
266	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
267	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
268	C₂×D₄	#120	1	12	yes	—
269	C₂×D₄	#123	1	12	yes	—
270	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
271	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
272	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
282	C₂²×C₄	—	16	24	no	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
291	M₁₆	—	2	8	no	—
292	M₁₆	—	2	8	no	—
293	M₁₆	—	4	24	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	4	24	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
309	C₄²	—	2	16	no	—
310	C₄²	—	2	12	no	—
311	C₄²	—	2	24	no	—
312	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
314	C₂³	—	2	6	no	—
315	C₂³	—	2	6	no	—
316	C₂³	—	2	48	no	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	4	12	no	—
319	C₂³	—	8	3	no	—
320	C₂³	—	8	6	no	—
321	C₂³	—	8	24	no	—
322	C₂³	—	8	24	no	—
323	C₂³	—	8	12	no	—
324	C₂³	—	16	12	no	—
325	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
326	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
327	C₂³	C₂×#120	1	6	yes	—
328	C₂³	C₂×#123	1	6	yes	—
329	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	8	no	—
333	Q₈	—	4	12	no	—
334	Q₈	#386	1	16	yes	—
335	D₄	—	2	48	no	—
336	D₄	—	2	12	no	—
337	D₄	—	2	8	no	—
338	D₄	—	2	12	no	—
339	D₄	—	2	48	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	24	no	—
343	D₄	—	4	12	no	—
344	D₄	—	8	48	no	—
345	D₄	#386	1	48	yes	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	48	no	—
349	C₂×C₄	—	2	8	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	16	no	—
352	C₂×C₄	—	4	12	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	24	no	—
355	C₂×C₄	—	8	24	no	—
356	C₂×C₄	—	8	48	no	—
357	C₂×C₄	—	8	12	no	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	24	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	24	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	6	yes	—
364	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₂²	—	2	12	no	—
370	C₂²	—	4	6	no	—
371	C₂²	—	4	6	no	—
372	C₂²	—	4	1	no	—
373	C₂²	—	4	6	no	—
374	C₂²	—	4	12	no	—
375	C₂²	—	4	12	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	8	48	no	—
379	C₂²	—	8	6	no	—
380	C₂²	—	16	12	no	—
381	C₂²	C₂×#386	1	12	yes	—
382	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	16	no	—
387	C₄	—	4	8	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	C₂×#386	1	12	yes	—
390	C₄	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
391	C₄	C₂²×#121	1	2	yes	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	12	no	—
396	C₂	—	4	12	no	—
397	C₂	—	8	4	no	—
398	C₂	C₂²×#386	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²×#386
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#62852	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #62652	C₂	semidirect
3. #60093	C₂	semidirect
4. C₂×#2888	C₂	semidirect
5. #21012	C₂	semidirect
6. C₂×#1911	C₂	semidirect
7. #20338	C₂	semidirect
11. #3500	C₄	semidirect
12. #3498	C₄	semidirect
22. #3428	C₂²	semidirect
24. C₂×#518	C₂²	semidirect
26. C₂×#421	C₂²	semidirect
28. C₂×#413	C₂²	semidirect
29. C₂²×#100	C₂²	semidirect
30. #1912	C₂²	semidirect
31. #1911	C₂²	semidirect
32. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
36. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
41. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
59. #536	C₂×C₄	semidirect
63. #535	C₂×C₄	semidirect
64. #535	C₂×C₄	semidirect
67. #532	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
90. C₄×#41	C₂×C₄	semidirect
91. C₄×#41	D₄	semidirect
129. C₂×#41	C₂²×C₄	semidirect
136. C₂²×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
148. C₂²×D₄	C₂²×C₄	semidirect
164. C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	semidirect
166. #127	C₂²×C₄	semidirect
168. #124	C₂²×C₄	semidirect
169. #124	C₂²×C₄	semidirect
197. #117	C₂²×C₄	semidirect
198. #117	C₂×D₄	semidirect
211. C₂×C₄²	C₂²×C₄	semidirect
212. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62852	2
#62652	2
#60093	2
C₂×#2888	2
#21012	2
C₂×#1911	2
#20338	2