Subgroups — #6372175

Order 512.

3662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21304	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#21303	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#20335	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#533	—	2	8	no	—
11	C₂×#533	—	2	8	no	—
12	C₂×#533	C₄	1	8	yes	—
13	C₂×#533	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×#125	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2905	—	2	8	no	—
22	C₂×#424	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
24	#2873	—	2	8	no	—
25	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
27	#1985	C₂²	1	32	yes	complemented
28	#1984	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#1729	C₂²	1	8	yes	—
30	#1729	C₂²	1	8	yes	—
31	#1728	C₂²	1	8	yes	—
32	#1728	C₂²	1	8	yes	—
33	#1728	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	Q₈	1	16	yes	complemented
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	#533	—	2	64	no	—
51	#533	—	2	32	no	—
52	#533	—	2	32	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×#125	—	2	16	no	—
56	C₂×#125	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	16	yes	—
63	C₂×#117	—	2	4	no	—
64	C₂×#117	—	2	4	no	—
65	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
68	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	#424	—	2	32	no	—
87	#423	—	2	16	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
89	#405	—	2	32	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
91	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
93	#336	C₂³	1	32	yes	—
94	#336	C₂³	1	32	yes	—
95	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
98	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
111	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
137	#125	—	2	64	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
142	#117	—	2	16	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
146	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
147	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
180	#97	—	2	16	no	—
181	C₄×C₈	—	2	16	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₄×Q₈	1	8	yes	—
185	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
209	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
228	M₁₆	—	2	32	no	—
229	M₁₆	—	2	32	no	—
230	M₁₆	—	4	16	no	—
231	M₁₆	—	4	16	no	—
232	C₂×C₈	—	2	32	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	4	16	no	—
239	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
246	C₄²	—	2	8	no	—
247	C₄²	—	2	8	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
255	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
256	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	16	no	—
261	C₂³	#391	1	16	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₈	—	4	64	no	—
269	C₂×C₄	—	2	16	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	16	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	16	no	—
277	C₂×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	32	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	#391	1	16	yes	—
282	C₂×C₄	#391	1	32	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	#568	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
301	C₈	—	2	16	no	—
302	C₈	—	4	8	no	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	8	no	—
305	C₂²	—	2	8	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	8	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	C₂×#391	1	8	yes	—
310	C₂²	C₂×#391	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×#568	1	4	yes	—
314	C₄	—	2	8	no	—
315	C₄	—	2	16	no	—
316	C₄	—	4	4	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	C₂×#391	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×#391	1	8	yes	—
320	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₄	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
322	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	2	8	no	—
325	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#60064	1	2	yes	—
327	C₂	#60192	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21304	C₂	semidirect
5. #21303	C₂	semidirect
27. #1985	C₂²	semidirect
28. #1984	C₂²	semidirect
43. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect
127. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
133. C₂²×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#2905	2
C₂×#2873	2
#21304	2
#21303	2
#20335	2
C₂×#1728	2