Subgroups — #6372193

Order 512.

3554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21315	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#21313	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#21312	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#21311	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1987	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20348	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	#3503	—	2	8	no	—
12	#3503	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×Q₈²	—	2	1	no	—
14	C₂×#557	—	2	1	no	—
15	C₂×#554	—	2	3	no	—
16	C₂×D₄×Q₈	—	2	3	no	—
17	C₂×#544	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#533	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2906	—	2	8	no	—
24	C₂×#424	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
27	#2276	—	2	1	no	—
28	#2275	—	2	3	no	—
29	#2274	C₂²	1	6	yes	—
30	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
31	C₄²×D₄	—	2	3	no	—
32	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
34	#1989	C₂²	1	12	yes	—
35	#1989	C₂²	1	12	yes	—
36	#1988	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1988	C₂²	1	3	yes	—
38	#1988	C₂²	1	12	yes	—
39	#1987	C₂²	1	3	yes	—
40	#1987	C₂²	1	6	yes	—
41	#1987	C₂²	1	12	yes	—
42	#1987	C₂²	1	3	yes	—
43	#1736	C₂²	1	12	yes	—
44	#1736	C₂²	1	12	yes	—
45	#1735	C₂²	1	12	yes	—
46	C₂×#340	C₂²	1	12	yes	—
47	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	3	no	—
49	C₂×#131	—	2	8	no	—
50	C₂×#131	—	2	16	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	6	yes	—
53	Q₈²	—	2	16	no	—
54	#557	—	2	16	no	—
55	#554	—	2	48	no	—
56	D₄×Q₈	—	2	48	no	—
57	#544	—	2	24	no	—
58	#544	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
59	#533	—	2	12	no	—
60	#533	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#125	—	2	6	no	—
70	C₂×#125	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
74	#520	—	2	8	no	—
75	#520	—	2	8	no	—
76	#520	C₂×C₄	1	16	yes	—
77	#520	Q₈	1	16	yes	complemented
78	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
88	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
97	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
98	#424	—	2	24	no	—
99	#423	—	2	12	no	—
100	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
116	#376	—	2	3	no	—
117	C₂×#95	—	2	3	no	—
118	C₄³	—	2	3	no	—
119	#340	C₂³	1	12	yes	—
120	#340	C₂³	1	24	yes	—
121	#340	C₂³	1	12	yes	—
122	#340	C₂³	1	4	yes	—
123	#340	C₂³	1	12	yes	—
124	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂²×Q₈	—	8	12	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	#131	—	4	32	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
154	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
155	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	#125	—	2	48	no	—
157	#125	—	2	12	no	—
158	#125	C₂²×C₄	1	24	yes	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
166	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
168	C₄×D₄	—	2	48	no	—
169	C₄×D₄	—	2	48	no	—
170	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
171	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
172	#117	—	2	12	no	—
173	#117	—	2	12	no	—
174	#117	C₂²×C₄	1	24	yes	—
175	#117	C₂²×C₄	1	12	yes	—
176	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	#117	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	8	6	no	—
206	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
216	#95	—	2	3	no	—
217	#95	—	2	6	no	—
218	#95	—	2	1	no	—
219	#95	—	2	6	no	—
220	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
221	#41	C₄×Q₈	1	32	yes	—
222	#41	#124	1	16	yes	—
223	#41	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	48	no	—
232	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
234	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
235	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
260	M₁₆	—	4	24	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	6	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	12	no	—
265	C₂×C₈	—	4	24	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
285	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
286	C₄²	—	2	24	no	—
287	C₄²	—	2	24	no	—
288	C₄²	—	4	6	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	—	8	6	no	—
291	C₄²	—	8	6	no	—
292	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
293	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
294	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
298	C₂³	—	2	6	no	—
299	C₂³	—	2	3	no	—
300	C₂³	—	2	3	no	—
301	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
302	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
303	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	24	no	—
305	Q₈	—	4	8	no	—
306	Q₈	—	8	24	no	—
307	Q₈	#391	1	16	yes	—
308	D₄	#391	1	48	yes	—
309	C₂×C₄	—	2	6	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	3	no	—
312	C₂×C₄	—	2	3	no	—
313	C₂×C₄	—	2	24	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	12	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	12	no	—
318	C₂×C₄	—	4	12	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	6	no	—
321	C₂×C₄	—	4	12	no	—
322	C₂×C₄	—	4	6	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	24	no	—
327	C₂×C₄	—	8	24	no	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	24	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
337	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	4	6	no	—
345	C₂²	—	2	12	no	—
346	C₂²	—	2	12	no	—
347	C₂²	—	2	6	no	—
348	C₂²	—	2	6	no	—
349	C₂²	C₂×#391	1	12	yes	—
350	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3585	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	6	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	6	no	—
358	C₄	—	4	12	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	12	no	—
362	C₄	C₂×#391	1	12	yes	—
363	C₄	#2898	1	4	yes	—
364	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
365	C₄	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
366	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	2	12	no	—
368	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#2898	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#60087	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#60495	1	2	yes	—
372	C₂	#60498	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21315	C₂	semidirect
5. #21313	C₂	semidirect
6. #21312	C₂	semidirect
7. #21311	C₂	semidirect
8. C₂×#1987	C₂	semidirect
12. #3503	C₄	semidirect
58. #544	C₂×C₄	semidirect
60. #533	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
77. #520	Q₈	semidirect
177. #117	C₂×Q₈	semidirect
191. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3503	2
C₂×#2906	2
C₄×#520	2
#21315	2
#21313	2
#21312	2
#21311	2
C₂×#1987	2
#20348	2