Subgroups — #6372220

Order 512.

3496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 281 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21330	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#21329	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1994	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#20343	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	#3504	C₄	1	8	yes	complemented
10	#3503	C₄	1	8	yes	complemented
11	#3502	—	2	2	no	—
12	#3501	—	2	6	no	—
13	Q₈×#41	—	2	8	no	—
14	#3458	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	6	yes	—
16	#3428	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2906	—	2	8	no	—
20	#2905	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
22	C₄²×Q₈	—	2	2	no	—
23	C₄²×D₄	—	2	6	no	—
24	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
25	C₄×#117	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
27	#1995	C₂²	1	24	yes	—
28	#1994	C₂²	1	4	yes	—
29	#1994	C₂²	1	12	yes	—
30	#1994	C₂²	1	24	yes	—
31	#1733	C₂²	1	24	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	24	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	#568	—	2	16	no	—
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
37	Q₈²	—	2	8	no	—
38	#557	—	2	8	no	—
39	#557	—	2	16	no	—
40	#554	—	2	24	no	—
41	#554	—	2	48	no	—
42	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
43	#544	—	2	12	no	—
44	#544	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
45	#543	—	2	12	no	—
46	#533	—	2	24	no	—
47	#533	—	2	12	no	—
48	#533	—	2	12	no	—
49	#533	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
50	#533	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
51	#533	C₂³	1	4	yes	—
52	#533	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
54	C₂×#125	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
56	#520	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	#519	—	2	2	no	—
58	#518	—	2	6	no	—
59	C₄×#41	—	2	8	no	—
60	C₄×#41	—	2	8	no	—
61	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
64	C₄×#41	Q₈	1	16	yes	complemented
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
69	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	6	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
76	#424	—	2	24	no	—
77	#423	—	2	12	no	—
78	#423	C₂³	1	4	yes	—
79	#423	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
85	#376	C₂³	1	6	yes	—
86	C₄³	—	2	6	no	—
87	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
89	C₄³	C₂³	1	6	yes	—
90	#339	C₂³	1	16	yes	—
91	#339	C₂³	1	48	yes	—
92	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
95	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
96	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
97	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
102	#131	—	4	32	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
106	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
110	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
112	#125	—	2	48	no	—
113	#125	—	2	24	no	—
114	#125	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	#125	C₂²×C₄	1	24	yes	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
127	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₄×D₄	—	2	48	no	—
130	C₄×D₄	—	2	48	no	—
131	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
132	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
133	#117	—	2	12	no	—
134	#117	—	2	12	no	—
135	#117	—	2	12	no	—
136	#117	C₂²×C₄	1	24	yes	—
137	#117	C₂²×C₄	1	12	yes	—
138	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
139	#117	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
140	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
167	#95	—	2	12	no	—
168	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
169	#41	C₄×Q₈	1	32	yes	—
170	#41	#124	1	16	yes	—
171	#41	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
172	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
175	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
177	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
178	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
195	M₁₆	—	2	16	no	—
196	M₁₆	—	4	24	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	4	24	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
205	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
206	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
211	C₄²	—	2	8	no	—
212	C₄²	—	2	24	no	—
213	C₄²	—	2	24	no	—
214	C₄²	—	2	8	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	6	no	—
217	C₄²	—	4	24	no	—
218	C₄²	—	4	12	no	—
219	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
220	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
221	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
224	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
226	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
227	C₄²	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
228	C₂³	—	4	6	no	—
229	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
230	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
231	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	4	16	no	—
233	Q₈	—	8	24	no	—
234	Q₈	#391	1	16	yes	—
235	D₄	#391	1	48	yes	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	24	no	—
240	C₂×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂×C₄	—	2	12	no	—
242	C₂×C₄	—	4	6	no	—
243	C₂×C₄	—	4	12	no	—
244	C₂×C₄	—	4	48	no	—
245	C₂×C₄	—	4	12	no	—
246	C₂×C₄	—	8	24	no	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	24	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
255	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
259	C₈	—	4	8	no	—
260	C₂²	—	2	2	no	—
261	C₂²	—	2	12	no	—
262	C₂²	—	4	12	no	—
263	C₂²	C₂×#391	1	12	yes	—
264	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
266	C₄	—	2	8	no	—
267	C₄	—	2	2	no	—
268	C₄	—	2	12	no	—
269	C₄	—	4	12	no	—
270	C₄	—	4	16	no	—
271	C₄	C₂×#391	1	12	yes	—
272	C₄	#2901	1	4	yes	—
273	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
274	C₄	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
275	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂	—	2	2	no	—
277	C₂	—	2	12	no	—
278	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
279	C₂	C₂×#2901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21330	C₂	semidirect
5. #21329	C₂	semidirect
6. C₂×#1994	C₂	semidirect
9. #3504	C₄	semidirect
10. #3503	C₄	semidirect
44. #544	C₂×C₄	semidirect
49. #533	C₂×C₄	semidirect
50. #533	C₂×C₄	semidirect
53. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×#125	C₂×C₄	semidirect
64. C₄×#41	Q₈	semidirect
139. #117	C₂×Q₈	semidirect
160. C₂×C₄²	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62813	2
#60099	2
C₄²×#41	2
#21330	2
#21329	2
C₂×#1994	2
#20343	2