Subgroups — #6372234

Order 512.

3424 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21338	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#21337	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1997	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#20358	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	#3503	—	2	4	no	—
11	#3503	—	2	4	no	—
12	#3503	—	2	4	no	—
13	#3503	—	2	4	no	—
14	C₂×Q₈²	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#557	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#554	C₄	1	6	yes	—
17	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	6	yes	—
18	C₂×#544	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#533	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2906	—	2	4	no	—
24	#2906	—	2	4	no	—
25	#2905	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
27	#2875	—	2	4	no	—
28	C₄×#131	—	2	4	no	—
29	#2873	C₂²	1	6	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	6	yes	—
31	#1998	C₂²	1	24	yes	—
32	#1997	C₂²	1	12	yes	—
33	#1997	C₂²	1	24	yes	—
34	#1997	C₂²	1	4	yes	—
35	#1742	C₂²	1	24	yes	—
36	C₂×#343	C₂²	1	24	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
39	#568	—	2	8	no	—
40	#568	—	2	16	no	—
41	#568	Q₈	1	16	yes	complemented
42	C₂×#131	—	2	8	no	—
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
46	Q₈²	—	2	8	no	—
47	Q₈²	—	2	8	no	—
48	#557	—	2	8	no	—
49	#557	—	2	8	no	—
50	#554	—	2	24	no	—
51	#554	—	2	24	no	—
52	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
53	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
54	#544	—	2	24	no	—
55	#544	—	2	24	no	—
56	#533	—	2	6	no	—
57	#533	—	2	6	no	—
58	#533	—	2	6	no	—
59	#533	—	2	6	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#125	C₂×C₄	1	12	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
75	#520	—	2	8	no	—
76	#520	—	2	8	no	—
77	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
78	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
79	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
80	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
94	#424	—	2	24	no	—
95	#423	—	2	6	no	—
96	#423	—	2	6	no	—
97	#423	C₂³	1	4	yes	—
98	#423	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
100	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
101	#405	—	2	24	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
104	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₄×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
106	C₂×#97	—	2	6	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
108	#343	C₂³	1	48	yes	—
109	#343	C₂³	1	16	yes	—
110	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
114	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
116	C₂²×Q₈	—	8	12	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
126	#131	—	2	64	no	—
127	#131	—	4	32	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	48	yes	complemented
133	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
152	#125	—	2	48	no	—
153	#125	—	2	12	no	—
154	#125	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄×D₄	—	2	48	no	—
170	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
171	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
172	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
173	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
174	#117	—	2	12	no	—
175	#117	—	2	12	no	—
176	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
207	#97	—	2	4	no	—
208	#97	—	2	12	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	12	no	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	3	yes	—
212	#41	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
213	#41	#124	1	16	yes	—
214	#41	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
227	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
228	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	24	yes	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
249	M₁₆	—	2	48	no	—
250	M₁₆	—	2	8	no	—
251	M₁₆	—	2	16	no	—
252	M₁₆	—	4	24	no	—
253	M₁₆	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
254	C₂×C₈	—	2	48	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	24	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
274	C₄²	—	2	24	no	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
276	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
278	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
285	C₂³	—	4	3	no	—
286	C₂³	—	4	3	no	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
288	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
289	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	Q₈	—	4	12	no	—
292	Q₈	—	4	12	no	—
293	Q₈	—	4	4	no	—
294	Q₈	—	8	24	no	—
295	Q₈	#391	1	16	yes	—
296	D₄	#391	1	48	yes	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	12	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	12	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	12	no	—
303	C₂×C₄	—	4	6	no	—
304	C₂×C₄	—	4	6	no	—
305	C₂×C₄	—	4	3	no	—
306	C₂×C₄	—	4	3	no	—
307	C₂×C₄	—	4	12	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	24	no	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
325	C₈	—	2	16	no	—
326	C₈	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	2	1	no	—
328	C₂²	—	2	6	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	6	no	—
331	C₂²	—	4	12	no	—
332	C₂²	C₂×#391	1	12	yes	—
333	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
335	C₄	—	2	1	no	—
336	C₄	—	2	6	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	6	no	—
339	C₄	—	4	12	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	C₂×#391	1	12	yes	—
342	C₄	#2888	1	2	yes	—
343	C₄	#2889	1	2	yes	—
344	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
345	C₄	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	—	2	12	no	—
349	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#2888	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂×#2889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21338	C₂	semidirect
5. #21337	C₂	semidirect
6. C₂×#1997	C₂	semidirect
41. #568	Q₈	semidirect
132. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3503	2
#60099	2
C₄×#568	2
#21338	2
#21337	2
C₂×#1997	2
#20358	2