Subgroups — #6372237

Order 512.

3500 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21304	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#21303	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#21302	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#21301	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1985	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20336	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	Q₈×#41	—	2	8	no	—
13	Q₈×#41	—	2	8	no	—
14	C₂×Q₈²	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#557	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#557	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#554	C₄	1	6	yes	—
18	C₂×#554	C₄	1	3	yes	—
19	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	3	yes	—
20	C₂×#533	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#533	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
25	#2906	—	2	8	no	—
26	C₂×#424	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
29	#2875	—	2	8	no	—
30	C₂×#405	C₂²	1	6	yes	—
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂²×#97	C₂²	1	3	yes	—
33	#1985	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1985	C₂²	1	3	yes	—
35	#1985	C₂²	1	3	yes	—
36	#1985	C₂²	1	3	yes	—
37	#1985	C₂²	1	12	yes	—
38	#1985	C₂²	1	6	yes	—
39	#1985	C₂²	1	12	yes	—
40	#1984	C₂²	1	12	yes	—
41	#1984	C₂²	1	12	yes	—
42	#1729	C₂²	1	12	yes	—
43	#1729	C₂²	1	12	yes	—
44	#1728	C₂²	1	12	yes	—
45	C₂×#336	C₂²	1	12	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂×#131	—	2	8	no	—
49	C₂×#131	—	2	8	no	—
50	C₂×#131	—	2	8	no	—
51	C₂×#131	—	2	16	no	—
52	C₂×#131	Q₈	1	16	yes	complemented
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	6	yes	—
57	Q₈²	—	2	8	no	—
58	#557	—	2	8	no	—
59	#557	—	2	16	no	—
60	#554	—	2	48	no	—
61	#554	—	2	24	no	—
62	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
63	#533	—	2	24	no	—
64	#533	—	2	24	no	—
65	#533	—	2	12	no	—
66	#533	—	2	12	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
71	C₂×#125	C₂×C₄	1	6	yes	—
72	C₂×#125	C₂×C₄	1	6	yes	—
73	C₂×#125	C₂×C₄	1	6	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
78	C₄×#41	—	2	8	no	—
79	C₄×#41	—	2	8	no	—
80	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
81	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
87	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
96	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
97	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
98	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
99	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
100	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
102	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
103	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
105	#424	—	2	24	no	—
106	#423	—	2	12	no	—
107	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
112	#405	—	2	24	no	—
113	C₄×M₁₆	—	2	12	no	—
114	C₂×#97	—	2	12	no	—
115	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
117	C₂×#97	C₂³	1	6	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
119	#336	C₂³	1	4	yes	—
120	#336	C₂³	1	12	yes	—
121	#336	C₂³	1	12	yes	—
122	#336	C₂³	1	12	yes	—
123	#336	C₂³	1	24	yes	—
124	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
130	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
133	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
141	#131	—	2	64	no	—
142	#131	—	4	32	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
148	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
161	#125	—	2	24	no	—
162	#125	—	2	24	no	—
163	#125	—	2	24	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
181	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
182	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
183	C₄×D₄	—	2	24	no	—
184	C₄×D₄	—	2	24	no	—
185	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
186	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
187	#117	—	2	12	no	—
188	#117	—	2	12	no	—
189	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
190	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
208	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
224	#97	—	2	2	no	—
225	#97	—	2	6	no	—
226	#97	—	2	12	no	—
227	C₄×C₈	—	2	12	no	—
228	C₂⁴	C₂³×C₄	1	3	yes	—
229	#41	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
230	#41	#124	1	16	yes	—
231	#41	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
242	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
244	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
245	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	24	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
269	M₁₆	—	2	48	no	—
270	M₁₆	—	4	24	no	—
271	C₂×C₈	—	2	48	no	—
272	C₂×C₈	—	2	6	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	6	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	6	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	12	no	—
280	C₂×C₈	—	4	24	no	—
281	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
294	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
297	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
298	C₄²	—	2	12	no	—
299	C₄²	—	2	12	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	6	no	—
303	C₄²	—	2	6	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
310	C₂³	—	2	6	no	—
311	C₂³	—	2	6	no	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
313	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
314	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	2	8	no	—
316	Q₈	—	4	24	no	—
317	Q₈	—	4	12	no	—
318	Q₈	—	8	12	no	—
319	Q₈	#391	1	16	yes	—
320	D₄	#391	1	48	yes	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	6	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	6	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	6	no	—
329	C₂×C₄	—	2	6	no	—
330	C₂×C₄	—	2	6	no	—
331	C₂×C₄	—	2	6	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	12	no	—
334	C₂×C₄	—	4	12	no	—
335	C₂×C₄	—	4	12	no	—
336	C₂×C₄	—	4	24	no	—
337	C₂×C₄	—	8	12	no	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
347	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	2	12	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	6	no	—
356	C₂²	—	2	24	no	—
357	C₂²	—	2	6	no	—
358	C₂²	—	2	6	no	—
359	C₂²	C₂×#391	1	12	yes	—
360	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
363	C₂²	#3573	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	6	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	6	no	—
369	C₄	—	4	6	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	6	no	—
372	C₄	C₂×#391	1	12	yes	—
373	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
374	C₄	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	12	no	—
377	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#60064	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#60065	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#60195	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21304	C₂	semidirect
5. #21303	C₂	semidirect
6. #21302	C₂	semidirect
7. #21301	C₂	semidirect
8. C₂×#1985	C₂	semidirect
52. C₂×#131	Q₈	semidirect
147. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
152. C₂²×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#41	2
C₂×#2906	2
C₂×#2875	2
#21304	2
#21303	2
#21302	2
#21301	2
C₂×#1985	2
#20336	2