Subgroups — #6372446

Order 512.

3318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34048	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21413	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#21325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20972	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄×#419	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#541	—	2	8	no	—
11	C₂×#541	—	2	4	no	—
12	C₂×#541	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#541	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#126	—	2	2	no	—
16	C₂²×#125	—	2	2	no	—
17	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#419	C₂²	1	8	yes	—
22	#2873	—	2	8	no	—
23	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#2314	C₂²	1	8	yes	—
27	#2313	—	2	2	no	—
28	#2312	—	2	2	no	—
29	#2298	—	2	4	no	—
30	#2285	C₂²	1	2	yes	—
31	#2280	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1960	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1956	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1894	C₂²	1	16	yes	—
38	#1892	C₂²	1	16	yes	—
39	#1763	C₂²	1	16	yes	complemented
40	C₄×#103	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1736	C₂²	1	8	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
49	#541	—	2	64	no	—
50	#541	—	2	32	no	—
51	#541	C₂×C₄	1	64	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#126	—	2	32	no	—
57	C₂×#126	—	2	16	no	—
58	C₂×#125	—	2	32	no	—
59	C₂×#125	—	2	16	no	—
60	C₂×#125	—	2	2	no	—
61	C₂×#125	—	2	4	no	—
62	C₂×#125	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
74	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#419	—	2	32	no	—
89	C₂×#103	C₂³	1	32	yes	—
90	#405	—	2	32	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#388	—	2	16	no	—
98	#387	—	2	16	no	—
99	#384	C₂³	1	4	yes	—
100	#382	C₂³	1	4	yes	—
101	#381	—	2	2	no	—
102	#380	—	2	4	no	—
103	#380	C₂³	1	8	yes	—
104	#379	—	2	2	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	#376	—	2	2	no	—
110	C₄³	—	2	2	no	—
111	#340	C₂³	1	32	yes	—
112	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×M₁₆	#41	1	16	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
141	#126	—	2	128	no	—
142	#125	—	2	128	no	—
143	#125	—	2	16	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	C₂²×C₄	1	16	yes	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
148	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
149	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
151	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
152	#117	—	2	16	no	—
153	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
154	#117	C₂²×C₄	1	16	yes	—
155	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	#103	—	2	64	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	#97	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	C₄×C₈	—	2	8	no	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
239	M₁₆	—	2	32	no	—
240	M₁₆	—	2	32	no	—
241	C₂×C₈	—	2	32	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	C₂×#41	1	16	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
259	C₄²	—	2	32	no	—
260	C₄²	—	4	8	no	—
261	C₄²	—	8	8	no	—
262	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂³	#532	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	2	16	no	—
279	Q₈	—	4	8	no	—
280	Q₈	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	16	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×#41	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×#41	1	4	yes	—
309	C₈	—	2	16	no	—
310	C₂²	—	2	8	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	#2297	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#532	1	2	yes	—
319	C₂²	#3586	1	4	yes	—
320	C₄	—	2	8	no	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	4	8	no	—
324	C₄	—	4	8	no	—
325	C₄	—	8	8	no	—
326	C₄	#2297	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×C₄×#41	1	2	yes	—
328	C₄	C₂×#525	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	4	4	no	—
331	C₂	C₂×#2297	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#60088	1	2	yes	—
333	C₂	#60705	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21413	C₂	semidirect
5. #21325	C₂	semidirect
6. #21202	C₂	semidirect
8. C₄×#419	C₂	semidirect
12. C₂×#541	C₄	semidirect
33. #1992	C₂²	semidirect
34. #1991	C₂²	semidirect
35. #1960	C₂²	semidirect
36. #1956	C₂²	semidirect
39. #1763	C₂²	semidirect
40. C₄×#103	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#541	2
C₂×#2873	2
#34048	2
#21413	2
#21325	2
#21202	2
#20972	2
C₄×#419	2