Subgroups — #6372447

Order 512.

3750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34048	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21414	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#21325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20973	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#540	—	2	8	no	—
11	C₂×#540	—	2	4	no	—
12	C₂×#540	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#540	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#123	—	2	2	no	—
17	C₂²×#121	—	2	2	no	—
18	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
22	#2873	—	2	8	no	—
23	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#2314	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2313	—	2	2	no	—
28	#2312	—	2	2	no	—
29	#2298	—	2	4	no	—
30	#2285	C₂²	1	2	yes	—
31	#2280	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1961	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1895	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1893	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1762	C₂²	1	16	yes	complemented
40	C₄×#102	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1736	C₂²	1	8	yes	—
42	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
52	#540	—	2	64	no	—
53	#540	—	2	32	no	—
54	#540	C₂×C₄	1	64	yes	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	4	no	—
57	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×#125	—	2	4	no	—
61	C₂×#125	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#123	—	2	32	no	—
64	C₂×#123	—	2	16	no	—
65	C₂×#121	—	2	8	no	—
66	C₂×#121	—	2	4	no	—
67	C₂×#121	—	2	32	no	—
68	C₂×#121	—	2	16	no	—
69	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
77	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#418	—	2	32	no	—
89	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
90	#405	—	2	32	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#388	—	2	16	no	—
98	#387	—	2	16	no	—
99	#384	C₂³	1	4	yes	—
100	#382	C₂³	1	4	yes	—
101	#381	—	2	2	no	—
102	#380	—	2	4	no	—
103	#380	C₂³	1	8	yes	—
104	#379	—	2	2	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	#376	—	2	2	no	—
110	C₄³	—	2	2	no	—
111	#340	C₂³	1	32	yes	—
112	C₂⁵	—	2	2	no	—
113	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
123	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
143	C₂×M₁₆	#41	1	16	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
147	#127	—	2	16	no	—
148	#127	—	2	8	no	—
149	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
150	#125	—	2	16	no	—
151	#125	—	2	8	no	—
152	#125	C₂²×C₄	1	16	yes	—
153	#123	—	2	128	no	—
154	#121	—	2	32	no	—
155	#121	—	2	16	no	—
156	#121	—	2	128	no	—
157	#121	C₂²×C₄	1	32	yes	—
158	C₄×D₄	—	2	32	no	—
159	C₄×D₄	—	2	16	no	—
160	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
161	#117	—	2	16	no	—
162	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
163	#117	C₂²×C₄	1	16	yes	—
164	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
193	#102	—	2	64	no	—
194	#97	—	2	8	no	—
195	#97	—	2	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	4	4	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	—	4	8	no	—
207	C₂⁴	—	4	8	no	—
208	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×D₄	—	2	32	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	32	no	—
214	C₂×D₄	—	2	32	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	8	16	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂×D₄	—	8	32	no	—
222	C₂×D₄	—	8	32	no	—
223	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
253	M₁₆	—	2	32	no	—
254	M₁₆	—	2	32	no	—
255	C₂×C₈	—	2	32	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	C₂×#41	1	16	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
271	C₄²	—	4	8	no	—
272	C₄²	—	8	8	no	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
275	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	16	no	—
286	C₂³	—	4	16	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	32	no	—
293	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂³	#532	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	D₄	—	2	16	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	16	no	—
300	D₄	—	8	32	no	—
301	D₄	—	8	32	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	32	no	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₄×#41	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×#41	1	4	yes	—
328	C₈	—	2	16	no	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	8	8	no	—
338	C₂²	—	8	32	no	—
339	C₂²	—	8	16	no	—
340	C₂²	#2297	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#532	1	2	yes	—
343	C₂²	#3585	1	4	yes	—
344	C₄	—	2	8	no	—
345	C₄	—	2	8	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	8	no	—
348	C₄	—	8	8	no	—
349	C₄	#2297	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×C₄×#41	1	2	yes	—
351	C₄	C₂×#525	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	4	4	no	—
354	C₂	—	8	8	no	—
355	C₂	C₂×#2297	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#60087	1	2	yes	—
357	C₂	#60704	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#540	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2873	C₂	semidirect
3. #34048	C₂	semidirect
4. #21414	C₂	semidirect
5. #21325	C₂	semidirect
6. #21203	C₂	semidirect
7. #20973	C₂	semidirect
8. C₄×#418	C₂	semidirect
12. C₂×#540	C₄	semidirect
23. C₂×#405	C₂²	semidirect
26. #2314	C₂²	semidirect
33. #1992	C₂²	semidirect
34. #1991	C₂²	semidirect
35. #1961	C₂²	semidirect
36. #1957	C₂²	semidirect
37. #1895	C₂²	semidirect
38. #1893	C₂²	semidirect
39. #1762	C₂²	semidirect
40. C₄×#102	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#540	2
C₂×#2873	2
#34048	2
#21414	2
#21325	2
#21203	2
#20973	2
C₄×#418	2