Subgroups — #6374057

Order 512.

1814 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21712	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21673	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#21597	C₂	1	8	yes	maximal
5	#21349	C₂	1	2	yes	maximal
6	#21339	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×#446	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20473	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×C₄²×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂×#533	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#446	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#125	C₄	1	2	yes	—
20	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
22	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
23	#2296	C₄	1	2	yes	—
24	#2295	C₄	1	4	yes	—
25	#2285	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1984	C₂²	1	8	yes	—
30	#1939	C₂²	1	8	yes	—
31	#1939	C₂²	1	8	yes	—
32	#1916	C₂²	1	16	yes	—
33	#1850	C₂²	1	8	yes	—
34	#1842	C₂²	1	2	yes	—
35	#1831	C₂²	1	2	yes	—
36	#1797	C₂²	1	4	yes	—
37	#1771	C₂²	1	16	yes	—
38	#1770	C₂²	1	8	yes	—
39	#1770	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
42	#1752	C₂²	1	8	yes	—
43	#1744	C₂²	1	4	yes	—
44	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
48	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#533	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#446	—	2	32	no	—
66	#431	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#97	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	16	no	—
74	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#387	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#387	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	#385	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	#376	C₂×C₄	1	4	yes	—
108	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
115	#336	C₂³	1	8	yes	—
116	#336	C₂³	1	16	yes	—
117	#336	C₂³	1	16	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
133	#125	—	2	8	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
138	#117	—	2	8	no	—
139	#117	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	M₁₆	1	8	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
182	#97	—	2	32	no	—
183	C₄×C₈	—	2	8	no	—
184	C₄×C₈	—	2	8	no	—
185	C₄×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	4	no	—
187	C₄×C₈	—	2	8	no	—
188	C₄×C₈	—	2	8	no	—
189	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
192	C₄×C₈	#41	1	16	yes	—
193	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
194	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
196	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
197	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	—	2	16	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	16	no	—
235	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	16	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	16	no	—
262	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
263	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
265	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
267	C₄²	#131	1	8	yes	—
268	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	4	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	#446	1	16	yes	complemented
300	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×#41	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	8	no	—
321	C₈	—	4	8	no	—
322	C₈	#533	1	8	yes	complemented
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	C₂×#446	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×C₄×#41	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	4	8	no	—
339	C₄	—	4	8	no	—
340	C₄	C₂×#446	1	4	yes	—
341	C₄	C₂×#446	1	4	yes	—
342	C₄	#2960	1	4	yes	—
343	C₄	#2965	1	8	yes	—
344	C₄	C₂×#533	1	2	yes	—
345	C₄	#3444	1	2	yes	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	C₄×#533	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂²×#446	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#2960	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#2965	1	2	yes	—
351	C₂	#60204	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21712	C₂	semidirect
3. #21673	C₂	semidirect
6. #21339	C₂	semidirect
8. C₄×#446	C₂	semidirect
74. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
299. C₂×C₄	#446	semidirect
322. C₈	#533	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
#21712	2
#21673	2
#21597	2
#21349	2
#21339	2
#20808	2
C₄×#446	2
#20473	2
C₂×C₄²×C₈	2