Subgroups — #6374114

Order 512.

4742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21745	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#20898	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20580	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#532	—	2	16	no	—
11	C₂×#532	C₄	1	8	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#121	C₄	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2879	—	2	16	no	—
21	C₂×#408	C₂²	1	16	yes	complemented
22	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#407	C₂²	1	8	yes	—
25	#1870	C₂²	1	32	yes	complemented
26	#1869	C₂²	1	32	yes	complemented
27	#1817	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1780	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1728	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂²×#41	—	2	8	no	—
31	C₂²×#41	—	4	8	no	—
32	C₂²×#41	—	4	8	no	—
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	D₄	1	16	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	4	16	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
54	#532	—	2	64	no	—
55	#532	—	2	64	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#127	—	2	8	no	—
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×#124	—	2	8	no	—
61	C₂×#124	—	2	8	no	—
62	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#121	—	2	32	no	—
65	C₂×#121	C₂×C₄	1	32	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	#408	—	2	64	no	—
80	#407	—	2	16	no	—
81	#407	—	2	16	no	—
82	#407	—	4	16	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
86	#336	C₂³	1	32	yes	—
87	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#41	—	2	16	no	—
91	C₂×#41	—	2	16	no	—
92	C₂×#41	—	4	8	no	—
93	C₂×#41	—	4	8	no	—
94	C₂×#41	—	4	8	no	—
95	C₂×#41	—	4	8	no	—
96	C₂×#41	—	4	64	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	8	no	—
99	C₂×#41	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	8	no	—
101	C₂×#41	—	4	8	no	—
102	C₂×#41	—	4	64	no	—
103	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
104	C₂×#41	C₂×D₄	1	32	yes	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
119	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
151	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	64	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
157	#127	—	2	32	no	—
158	#124	—	2	32	no	—
159	#124	—	2	32	no	—
160	#121	—	2	128	no	—
161	C₄×D₄	—	2	64	no	—
162	C₄×D₄	—	2	32	no	—
163	C₄×D₄	—	2	32	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	8	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	8	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	8	no	—
188	C₂⁴	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
190	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	4	64	no	—
196	#41	—	4	32	no	—
197	#41	—	4	32	no	—
198	#41	—	4	64	no	—
199	#41	—	4	64	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	32	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	32	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	32	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	64	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂×D₄	—	4	32	no	—
226	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
227	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	M₁₆	—	4	32	no	—
272	M₁₆	—	4	32	no	—
273	C₂×C₈	—	2	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	32	no	—
275	C₂×C₈	—	4	32	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	16	no	—
290	C₂³	—	2	16	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	16	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	16	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	4	16	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	8	16	no	—
300	C₂³	—	8	16	no	—
301	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
302	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂³	#518	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	16	no	—
307	Q₈	—	4	16	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	4	32	no	—
310	D₄	—	4	64	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	32	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	16	no	—
326	C₂×C₄	—	2	16	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	32	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	16	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#534	1	16	yes	—
341	C₂×C₄	#568	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
344	C₈	—	4	16	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	16	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	16	no	—
355	C₂²	—	4	16	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	8	16	no	—
359	C₂²	—	8	16	no	—
360	C₂²	#2308	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×#568	1	4	yes	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	8	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	#2308	1	4	yes	—
370	C₄	C₂×#534	1	4	yes	—
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	—	4	4	no	—
373	C₂	—	4	8	no	—
374	C₂	—	8	4	no	—
375	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#60064	1	2	yes	—
377	C₂	#60232	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2879	C₂	semidirect
3. #21745	C₂	semidirect
4. #20898	C₂	semidirect
5. #20682	C₂	semidirect
6. #20580	C₂	semidirect
21. C₂×#408	C₂²	semidirect
25. #1870	C₂²	semidirect
26. #1869	C₂²	semidirect
27. #1817	C₂²	semidirect
28. #1780	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#532	2
C₂×#2879	2
#21745	2
#20898	2
#20682	2
#20580	2