Subgroups — #6374131

Order 512.

4378 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34173	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21751	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#21747	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20986	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#20688	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20584	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#536	—	2	16	no	—
11	C₂×#536	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂×#536	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×#124	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂²×#123	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#519	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#410	C₂²	1	8	yes	—
22	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
23	#2310	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#2310	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#2280	C₂²	1	4	yes	—
26	#2280	C₂²	1	8	yes	—
27	#1899	C₂²	1	64	yes	complemented
28	#1820	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#1819	C₂²	1	8	yes	—
30	#1782	C₂²	1	8	yes	—
31	#1781	C₂²	1	8	yes	—
32	#1740	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂²×#41	—	2	8	no	—
34	C₂²×#41	—	4	8	no	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
40	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	#536	—	2	32	no	—
54	#536	—	2	32	no	—
55	#536	—	2	16	no	—
56	#536	—	2	16	no	—
57	#536	—	2	32	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×#124	—	2	16	no	—
62	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#123	—	2	32	no	—
65	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂×#123	C₂³	1	16	yes	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	#519	—	4	16	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
73	C₂×#117	—	2	8	no	—
74	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	16	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#410	—	4	16	no	—
86	C₂×#99	C₂³	1	32	yes	—
87	#391	—	2	16	no	—
88	#391	—	2	32	no	—
89	#381	C₂³	1	8	yes	—
90	#381	C₂³	1	16	yes	—
91	#380	—	2	8	no	—
92	#380	—	2	16	no	—
93	#379	C₂³	1	8	yes	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
96	#342	C₂³	1	32	yes	—
97	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	2	16	no	—
104	C₂×#41	—	4	8	no	—
105	C₂×#41	—	4	8	no	—
106	C₂×#41	—	4	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	64	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
114	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
115	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
130	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
134	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
159	#124	—	2	32	no	—
160	#124	—	2	32	no	—
161	#123	—	2	64	no	—
162	#123	—	2	32	no	—
163	#123	—	2	32	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
167	#117	—	2	8	no	—
168	#117	—	2	8	no	—
169	#117	—	2	8	no	—
170	#117	—	2	8	no	—
171	#117	—	2	32	no	—
172	#117	—	4	32	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	#99	—	4	32	no	—
196	#95	—	2	16	no	—
197	#95	—	2	32	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
208	#41	—	4	32	no	—
209	#41	—	4	32	no	—
210	#41	—	4	32	no	—
211	#41	—	4	32	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
228	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
230	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
231	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	16	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	32	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	8	no	—
293	C₄²	—	4	32	no	—
294	C₄²	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	8	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	8	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	8	16	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
316	Q₈	—	2	32	no	—
317	Q₈	—	2	32	no	—
318	Q₈	—	4	16	no	—
319	Q₈	—	4	16	no	—
320	Q₈	—	4	8	no	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	16	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	16	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	32	no	—
348	C₂×C₄	—	4	16	no	—
349	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#534	1	16	yes	—
357	C₂²	—	2	8	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	16	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	8	8	no	—
370	C₂²	—	8	16	no	—
371	C₂²	#2884	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	16	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	16	no	—
381	C₄	#2308	1	4	yes	—
382	C₄	#2308	1	4	yes	—
383	C₂	—	2	4	no	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	8	4	no	—
388	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#2884	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34173	C₂	semidirect
3. #21751	C₂	semidirect
4. #21747	C₂	semidirect
5. #20986	C₂	semidirect
6. #20688	C₂	semidirect
11. C₂×#536	C₄	semidirect
12. C₂×#536	C₄	semidirect
15. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
16. C₂²×#124	C₄	semidirect
18. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
19. C₂×#519	C₂²	semidirect
23. #2310	C₂²	semidirect
24. #2310	C₂²	semidirect
27. #1899	C₂²	semidirect
28. #1820	C₂²	semidirect
32. #1740	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#536	2
#34173	2
#21751	2
#21747	2
#20986	2
#20688	2
#20584	2