Subgroups — #6374244

Order 512.

4246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21792	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#21189	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20581	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	#3449	—	2	8	no	—
11	#3449	—	2	8	no	—
12	C₂×#537	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×#536	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#535	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#534	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#525	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2921	—	2	8	no	—
21	C₂×#433	—	2	8	no	—
22	C₂×#433	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#433	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#408	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#408	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1955	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1955	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1954	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1954	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1780	C₂²	1	16	yes	—
38	#1779	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₂²×#41	—	2	8	no	—
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	—	4	16	no	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	#537	—	2	32	no	—
55	#536	—	2	32	no	—
56	#535	—	2	32	no	—
57	#534	—	2	32	no	—
58	#532	—	2	8	no	—
59	#532	—	2	8	no	—
60	#532	—	2	8	no	—
61	#532	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#525	—	2	32	no	—
69	#525	—	2	32	no	—
70	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
73	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₂×#120	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
80	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#433	—	2	32	no	—
87	#433	—	2	32	no	—
88	#423	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
92	#408	—	4	16	no	—
93	#408	—	4	16	no	—
94	#407	—	2	8	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
100	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×#97	—	2	4	no	—
102	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂×#41	—	2	16	no	—
110	C₂×#41	—	2	16	no	—
111	C₂×#41	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	2	8	no	—
113	C₂×#41	—	2	8	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	—	2	16	no	—
116	C₂×#41	—	2	16	no	—
117	C₂×#41	—	4	16	no	—
118	C₂×#41	—	4	16	no	—
119	C₂×#41	—	4	16	no	—
120	C₂×#41	—	4	64	no	—
121	C₂×#41	—	4	64	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
130	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
140	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	#127	—	2	8	no	—
163	#127	—	2	8	no	—
164	#124	—	2	16	no	—
165	#124	—	2	16	no	—
166	#123	—	2	64	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
168	#121	—	2	32	no	—
169	#121	—	2	32	no	—
170	#121	—	2	64	no	—
171	#120	—	2	64	no	—
172	C₄×D₄	—	2	16	no	—
173	C₄×D₄	—	2	16	no	—
174	C₄×D₄	—	2	16	no	—
175	C₄×D₄	—	2	16	no	—
176	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
177	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
178	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
201	#97	—	2	8	no	—
202	#97	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	8	no	—
204	C₄×C₈	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	8	no	—
207	C₂⁴	—	4	8	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	16	no	—
210	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	#41	—	4	64	no	—
215	#41	—	4	64	no	—
216	#41	—	4	32	no	—
217	#41	—	4	32	no	—
218	#41	—	4	32	no	—
219	#41	—	4	16	no	—
220	#41	—	4	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
226	C₂×D₄	—	2	16	no	—
227	C₂×D₄	—	2	16	no	—
228	C₂×D₄	—	2	32	no	—
229	C₂×D₄	—	2	8	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	2	16	no	—
232	C₂×D₄	—	2	16	no	—
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	32	no	—
237	C₂×D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	64	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	4	16	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	16	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
283	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
288	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	8	no	—
297	C₂³	—	2	8	no	—
298	C₂³	—	2	16	no	—
299	C₂³	—	2	32	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	8	16	no	—
304	C₂³	—	8	32	no	—
305	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂³	#518	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	4	16	no	—
310	Q₈	—	4	16	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	32	no	—
313	D₄	—	4	32	no	—
314	D₄	—	4	16	no	—
315	D₄	—	8	16	no	—
316	D₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	16	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	32	no	—
329	C₂×C₄	—	4	16	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
343	C₈	—	4	4	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	4	8	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	32	no	—
352	C₂²	—	4	16	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	8	32	no	—
356	C₂²	#2309	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
359	C₂²	#3573	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	#2309	1	4	yes	—
365	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
366	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	4	4	no	—
369	C₂	—	8	8	no	—
370	C₂	C₂×#2309	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#60065	1	2	yes	—
372	C₂	#60238	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2921	C₂	semidirect
3. C₂²×#433	C₂	semidirect
4. #21792	C₂	semidirect
5. #21189	C₂	semidirect
6. #21188	C₂	semidirect
7. #21187	C₂	semidirect
8. #20581	C₂	semidirect
22. C₂×#433	C₂²	semidirect
23. C₂×#433	C₂²	semidirect
24. C₂×#423	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#408	C₂²	semidirect
27. C₂×#408	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
31. C₂²×#97	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
33. #1955	C₂²	semidirect
34. #1955	C₂²	semidirect
35. #1954	C₂²	semidirect
36. #1954	C₂²	semidirect
38. #1779	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3449	2
C₂×#2921	2
C₂²×#433	2
#21792	2
#21189	2
#21188	2
#21187	2
#20581	2