Subgroups — #6374264

Order 512.

4098 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21802	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#21799	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#21798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21220	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#20591	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#1784	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#536	—	2	16	no	—
12	C₂×#536	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×#536	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#123	C₄	1	4	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
20	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2924	—	2	16	no	—
22	#2921	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#2920	C₂²	1	8	yes	—
24	#2905	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#413	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂²×#101	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
28	#2873	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1967	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#1966	C₂²	1	32	yes	complemented
31	#1785	C₂²	1	8	yes	—
32	#1784	C₂²	1	8	yes	—
33	#1784	C₂²	1	4	yes	—
34	#1784	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1783	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	8	no	—
37	C₂²×#41	—	4	8	no	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
44	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	#536	—	2	32	no	—
58	#536	—	2	32	no	—
59	#536	—	2	16	no	—
60	#536	—	2	16	no	—
61	#536	—	2	32	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#124	—	2	16	no	—
66	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#123	—	2	32	no	—
69	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	#433	—	2	32	no	—
86	#432	—	2	16	no	—
87	#431	—	2	16	no	—
88	#424	—	2	16	no	—
89	#423	C₂³	1	16	yes	—
90	#413	—	4	16	no	—
91	C₂×#101	—	4	16	no	—
92	C₂×#101	C₂³	1	32	yes	—
93	C₂×#101	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×#100	C₂³	1	16	yes	—
95	#407	—	2	8	no	—
96	#407	C₂³	1	8	yes	—
97	#407	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
99	#405	—	2	16	no	—
100	C₄×M₁₆	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×#41	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	8	no	—
105	C₂×#41	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	2	16	no	—
108	C₂×#41	—	4	8	no	—
109	C₂×#41	—	4	8	no	—
110	C₂×#41	—	4	8	no	—
111	C₂×#41	—	4	64	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
163	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
167	#124	—	2	32	no	—
168	#124	—	2	16	no	—
169	#124	—	2	16	no	—
170	#123	—	2	64	no	—
171	#123	—	2	64	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
174	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
175	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
176	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
196	#101	—	4	32	no	—
197	#101	—	4	16	no	—
198	#100	—	4	16	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
201	#97	—	2	16	no	—
202	C₄×C₈	—	2	16	no	—
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	4	4	no	—
206	C₂⁴	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	8	no	—
208	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	4	32	no	—
214	#41	—	4	32	no	—
215	#41	—	4	32	no	—
216	#41	—	4	32	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	16	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	16	no	—
245	C₂×D₄	—	4	32	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
283	M₁₆	—	2	32	no	—
284	M₁₆	—	4	16	no	—
285	C₂×C₈	—	2	16	no	—
286	C₂×C₈	—	4	16	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
288	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
289	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
291	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
292	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
293	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	8	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	16	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	8	16	no	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
315	C₂³	#518	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	16	no	—
318	Q₈	—	4	16	no	—
319	Q₈	—	4	8	no	—
320	Q₈	—	4	16	no	—
321	Q₈	—	4	16	no	—
322	Q₈	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	16	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	16	no	—
344	C₂×C₄	—	4	16	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	16	no	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#535	1	16	yes	—
353	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
355	C₈	—	4	16	no	—
356	C₂²	—	2	8	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	16	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	8	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	8	8	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	#2309	1	4	yes	—
371	C₂²	#2889	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	16	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	#2309	1	4	yes	—
380	C₄	C₂×#535	1	4	yes	—
381	C₂	—	2	4	no	—
382	C₂	—	2	2	no	—
383	C₂	—	2	4	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	8	4	no	—
386	C₂	C₂×#2309	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#2889	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60124	C₂	semidirect
3. #21802	C₂	semidirect
4. #21799	C₂	semidirect
5. #21798	C₂	semidirect
6. #21220	C₂	semidirect
8. C₂×#1784	C₂	semidirect
22. #2921	C₂²	semidirect
24. #2905	C₂²	semidirect
26. C₂²×#101	C₂²	semidirect
28. #2873	C₂²	semidirect
29. #1967	C₂²	semidirect
30. #1966	C₂²	semidirect
34. #1784	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#536	2
#60124	2
#21802	2
#21799	2
#21798	2
#21220	2
#20591	2
C₂×#1784	2