Subgroups — #6374595

Order 512.

3312 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21882	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#21830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21752	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21428	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#20726	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂×#540	—	2	16	no	—
10	C₂×#540	C₄	1	8	yes	—
11	C₂×#540	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#540	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#123	C₄	1	4	yes	—
16	C₂²×#121	C₄	1	4	yes	—
17	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2924	—	2	16	no	—
21	#2921	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#2921	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#2920	C₂²	1	4	yes	—
24	#2920	C₂²	1	4	yes	—
25	#2905	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
27	#2873	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1998	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1965	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1900	C₂²	1	32	yes	complemented
31	#1821	C₂²	1	8	yes	—
32	#1800	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#1783	C₂²	1	8	yes	—
34	C₄×#100	C₂²	1	16	yes	complemented
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
41	#540	—	2	64	no	—
42	#540	—	2	16	no	—
43	#540	—	2	16	no	—
44	#540	—	2	16	no	—
45	#540	—	2	16	no	—
46	C₂×#127	—	2	8	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#125	—	2	8	no	—
50	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#123	—	2	16	no	—
53	C₂×#123	—	2	16	no	—
54	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×#121	—	2	8	no	—
57	C₂×#121	—	2	8	no	—
58	C₂×#121	—	2	16	no	—
59	C₂×#121	—	2	16	no	—
60	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#433	—	2	16	no	—
83	#433	—	2	16	no	—
84	#432	—	2	8	no	—
85	#432	—	2	8	no	—
86	#431	—	2	8	no	—
87	#431	—	2	8	no	—
88	#424	—	2	16	no	—
89	#423	C₂³	1	8	yes	—
90	#423	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#100	C₂³	1	32	yes	—
92	#407	—	2	8	no	—
93	#407	C₂³	1	8	yes	—
94	#407	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
96	#405	—	2	16	no	—
97	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
98	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
99	#343	C₂³	1	32	yes	—
100	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	#127	—	2	16	no	—
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	—	2	8	no	—
136	#125	—	2	16	no	—
137	#125	—	2	8	no	—
138	#125	—	2	8	no	—
139	#123	—	2	64	no	—
140	#123	—	2	64	no	—
141	#121	—	2	32	no	—
142	#121	—	2	16	no	—
143	#121	—	2	16	no	—
144	#121	—	2	64	no	—
145	#121	—	2	64	no	—
146	C₄×D₄	—	2	16	no	—
147	C₄×D₄	—	2	16	no	—
148	C₄×D₄	—	2	16	no	—
149	C₄×D₄	—	2	16	no	—
150	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
151	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
152	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#100	—	4	32	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
189	#97	—	2	8	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	C₄×C₈	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	4	8	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	32	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	8	16	no	—
213	C₂×D₄	—	8	16	no	—
214	C₂×D₄	—	8	16	no	—
215	C₂×D₄	—	8	16	no	—
216	C₂×D₄	—	8	16	no	—
217	C₂×D₄	—	8	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
250	M₁₆	—	2	32	no	—
251	M₁₆	—	4	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	16	no	—
253	C₂×C₈	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
264	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	8	8	no	—
288	C₂³	—	8	32	no	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
292	D₄	—	4	16	no	—
293	D₄	—	4	16	no	—
294	D₄	—	8	32	no	—
295	D₄	—	8	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	16	no	—
315	C₂×C₄	—	8	16	no	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
323	C₈	—	4	16	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	8	8	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	16	no	—
336	C₂²	—	8	16	no	—
337	C₂²	—	8	16	no	—
338	C₂²	#2888	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3428	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	8	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	#3449	1	4	yes	—
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	—	8	8	no	—
352	C₂	#34044	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#2888	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#540	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60124	C₂	semidirect
3. #21882	C₂	semidirect
4. #21830	C₂	semidirect
5. #21797	C₂	semidirect
6. #21752	C₂	semidirect
7. #21428	C₂	semidirect
8. #20726	C₂	semidirect
21. #2921	C₂²	semidirect
22. #2921	C₂²	semidirect
25. #2905	C₂²	semidirect
27. #2873	C₂²	semidirect
28. #1998	C₂²	semidirect
29. #1965	C₂²	semidirect
30. #1900	C₂²	semidirect
32. #1800	C₂²	semidirect
34. C₄×#100	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#540	2
#60124	2
#21882	2
#21830	2
#21797	2
#21752	2
#21428	2
#20726	2