Subgroups — C₂×#21910 #6374738

Order 512.

2998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21910	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#1924	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1798	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1779	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1750	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#2280	C₄	1	8	yes	—
19	#2280	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#381	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#380	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#380	C₄	1	2	yes	—
23	C₂×#379	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	#1924	C₂²	1	32	yes	complemented
26	#1923	C₂²	1	32	yes	complemented
27	#1798	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1779	C₂²	1	16	yes	—
29	#1750	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂⁶	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
35	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
36	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
37	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#117	—	4	4	no	—
46	C₂×#117	—	4	4	no	—
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#97	—	4	4	no	—
71	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	complemented
72	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
74	#381	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	#380	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	#380	C₂×C₄	1	16	yes	—
77	#379	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#336	C₂³	1	8	yes	complemented
83	#336	C₂³	1	8	yes	complemented
84	#336	C₂³	1	16	yes	complemented
85	C₂⁵	—	2	4	no	—
86	C₂⁵	—	2	8	no	—
87	C₂⁵	—	4	2	no	—
88	C₂⁵	—	4	2	no	—
89	C₂⁵	—	4	4	no	—
90	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
133	#117	—	4	8	no	—
134	#117	—	4	8	no	—
135	#117	—	4	8	no	—
136	#117	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
163	#97	—	4	8	no	—
164	C₄×C₈	—	4	8	no	—
165	#95	C₂²×C₄	1	16	yes	—
166	#95	C₂²×C₄	1	16	yes	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	16	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	8	no	—
182	C₂⁴	—	4	32	no	—
183	C₂⁴	—	4	16	no	—
184	C₂⁴	—	4	16	no	—
185	C₂⁴	—	4	32	no	—
186	C₂⁴	—	4	16	no	—
187	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
188	C₂⁴	#131	1	8	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	16	no	—
248	C₂×C₈	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	16	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	16	no	—
270	C₂³	—	2	16	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	—	4	32	no	—
278	C₂³	—	4	16	no	—
279	C₂³	—	4	32	no	—
280	C₂³	—	4	16	no	—
281	C₂³	—	4	128	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
291	C₂³	#518	1	2	yes	—
292	C₂³	#518	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#131	1	8	yes	—
294	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
295	C₂³	#568	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	32	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#538	1	16	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₈	—	4	8	no	—
330	C₈	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	64	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	16	no	—
343	C₂²	—	4	32	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	#2312	1	4	yes	—
347	C₂²	#2924	1	8	yes	—
348	C₂²	#2976	1	8	yes	—
349	C₂²	#2977	1	4	yes	—
350	C₂²	#2978	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	4	8	no	—
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	#2312	1	4	yes	—
362	C₄	C₂×#538	1	4	yes	—
363	C₂	—	4	8	no	—
364	C₂	—	4	4	no	—
365	C₂	#21910	1	8	yes	direct product factor
366	C₂	C₂×#2312	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#2924	1	2	yes	—
368	C₂	C₂×#2976	1	2	yes	—
369	C₂	C₂×#2977	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#2978	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21910	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#1924	C₂	semidirect
4. C₂×#1923	C₂	semidirect
5. C₂×#1798	C₂	semidirect
7. C₂×#1750	C₂	semidirect
11. C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
16. C₂²×#97	C₂²	semidirect
17. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
25. #1924	C₂²	semidirect
26. #1923	C₂²	semidirect
27. #1798	C₂²	semidirect
29. #1750	C₂²	semidirect
30. C₂×#336	C₂²	semidirect
31. C₂×#336	C₂²	semidirect
32. C₂×#336	C₂²	semidirect
61. C₂×C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
71. C₂×#97	C₂³	semidirect
73. C₂×C₄×C₈	C₂³	semidirect
82. #336	C₂³	semidirect
83. #336	C₂³	semidirect
84. #336	C₂³	semidirect
365. C₂	#21910	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2280	2
#21910	2
C₂×#1924	2
C₂×#1923	2
C₂×#1798	2
C₂×#1779	2
C₂×#1750	2

Subgroups — C2×#21910 #6374738

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#21910 #6374738