Subgroups — C₂×#22009 #6375142

Order 512.

2066 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22009	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#1954	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1798	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#2293	C₄	1	8	yes	—
19	#2293	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#389	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#388	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1954	C₂²	1	16	yes	—
27	#1939	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1923	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#1818	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1798	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1744	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×#117	—	4	8	no	—
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
73	#390	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	#389	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	#388	C₂×C₄	1	32	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
84	#336	C₂³	1	4	yes	—
85	#336	C₂³	1	8	yes	—
86	#336	C₂³	1	4	yes	—
87	#336	C₂³	1	16	yes	—
88	#336	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₄×D₄	—	2	16	no	—
119	C₄×D₄	—	2	16	no	—
120	#117	—	4	16	no	—
121	#117	—	4	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
134	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
155	C₄×C₈	—	2	16	no	—
156	C₄×C₈	—	4	8	no	—
157	#95	C₂²×C₄	1	16	yes	—
158	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	8	no	—
164	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	16	no	—
168	C₂×D₄	—	4	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
190	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	8	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	8	no	—
216	C₂×C₈	—	4	16	no	—
217	C₂×C₈	—	4	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
224	C₄²	—	2	8	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₄²	—	2	16	no	—
228	C₄²	—	2	16	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	8	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	#117	1	8	yes	—
234	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	8	no	—
239	C₂³	—	2	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	4	8	no	—
243	C₂³	—	4	16	no	—
244	C₂³	—	4	16	no	—
245	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
246	C₂³	#518	1	2	yes	—
247	C₂³	#520	1	2	yes	—
248	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
251	D₄	—	4	16	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	4	16	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	#433	1	16	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	#542	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#131	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#131	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
286	C₈	—	4	4	no	—
287	C₈	—	4	8	no	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	8	16	no	—
295	C₂²	#2319	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂×#433	1	4	yes	—
297	C₂²	#2922	1	4	yes	—
298	C₂²	#2979	1	8	yes	—
299	C₂²	#2994	1	8	yes	—
300	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	8	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	4	4	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₄	—	4	8	no	—
310	C₄	#2319	1	4	yes	—
311	C₄	C₂×#433	1	8	yes	—
312	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
313	C₄	C₂×#542	1	2	yes	—
314	C₂	—	8	4	no	—
315	C₂	#22009	1	8	yes	direct product factor
316	C₂	C₂×#2319	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂²×#433	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#2922	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#2979	1	2	yes	—
320	C₂	C₂×#2994	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22009	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#1939	C₂	semidirect
5. C₂×#1923	C₂	semidirect
6. C₂×#1818	C₂	semidirect
7. C₂×#1798	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
9. C₂×#1744	C₂	semidirect
27. #1939	C₂²	semidirect
28. #1923	C₂²	semidirect
29. #1818	C₂²	semidirect
30. #1798	C₂²	semidirect
31. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
32. #1744	C₂²	semidirect
315. C₂	#22009	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2293	2
#22009	2
C₂×#1954	2
C₂×#1939	2
C₂×#1923	2
C₂×#1818	2
C₂×#1798	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₂×#1744	2

Subgroups — C2×#22009 #6375142

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22009 #6375142