Subgroups — #6376431

Order 512.

2662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22275	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22268	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20936	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20933	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2366	—	2	4	no	—
25	#2365	—	2	4	no	—
26	#2344	—	2	4	no	—
27	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
28	#2328	C₂²	1	4	yes	—
29	#2327	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#2310	C₂²	1	2	yes	—
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1961	C₂²	1	4	yes	—
38	#1960	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1957	C₂²	1	4	yes	—
40	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1880	C₂²	1	32	yes	complemented
42	#1877	C₂²	1	32	yes	complemented
43	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1735	C₂²	1	4	yes	—
48	#1729	C₂²	1	2	yes	—
49	#1729	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
54	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	4	no	—
66	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	#519	—	4	8	no	—
70	#518	—	4	8	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×#117	—	2	4	no	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#492	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
85	#492	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
86	#419	—	4	8	no	—
87	#418	—	4	8	no	—
88	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
90	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#391	C₂³	1	8	yes	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	—	2	8	no	—
100	#390	C₂³	1	8	yes	—
101	#389	—	2	8	no	—
102	#387	—	2	16	no	—
103	#386	—	2	16	no	—
104	#384	C₂³	1	2	yes	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	C₂³	1	2	yes	—
107	#382	C₂³	1	2	yes	—
108	#381	—	2	4	no	—
109	#380	—	2	2	no	—
110	#380	—	2	2	no	—
111	#379	—	2	4	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
117	#376	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
119	#340	C₂³	1	16	yes	—
120	#336	C₂³	1	8	yes	—
121	#336	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂⁵	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×SD₁₆	—	4	64	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
146	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	64	yes	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	#127	—	2	16	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#127	—	2	4	no	—
163	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
167	C₄×D₄	—	4	16	no	—
168	C₄×D₄	—	4	16	no	—
169	C₄×D₄	—	8	16	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	8	no	—
173	#117	—	2	8	no	—
174	#117	—	4	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	#103	—	4	16	no	—
204	#102	—	4	16	no	—
205	#97	—	2	4	no	—
206	C₄×C₈	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
208	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	16	no	—
212	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	2	8	no	—
215	C₂⁴	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	8	8	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
227	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	16	no	—
230	C₂×D₄	—	2	16	no	—
231	C₂×D₄	—	2	32	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	8	32	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
251	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
262	SD₁₆	—	4	64	no	—
263	M₁₆	—	4	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	16	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
286	C₄²	—	2	16	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	4	16	no	—
290	C₄²	—	4	4	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
293	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	—	8	16	no	—
304	C₂³	—	16	8	no	—
305	C₂³	—	16	8	no	—
306	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₂³	#535	1	2	yes	—
308	C₂³	#535	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	2	16	no	—
311	Q₈	—	4	16	no	—
312	Q₈	—	4	8	no	—
313	D₄	—	2	16	no	—
314	D₄	—	4	16	no	—
315	D₄	—	4	8	no	—
316	D₄	—	4	32	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	16	16	no	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
345	C₈	—	2	8	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	16	no	—
351	C₂²	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	8	8	no	—
353	C₂²	—	8	8	no	—
354	C₂²	—	16	16	no	—
355	C₂²	#2328	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	4	8	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	#2328	1	4	yes	—
367	C₄	#2949	1	8	yes	—
368	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	8	8	no	—
372	C₂	C₂×#2328	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#2949	1	2	yes	—
374	C₂	#60818	1	2	yes	—
375	C₂	#60820	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #34209	C₂	semidirect
4. #22275	C₂	semidirect
5. #22268	C₂	semidirect
7. #21202	C₂	semidirect
8. #20936	C₂	semidirect
9. #20933	C₂	semidirect
10. #20760	C₂	semidirect
11. #20366	C₂	semidirect
17. C₂×#492	C₄	semidirect
29. #2327	C₂²	semidirect
32. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
38. #1960	C₂²	semidirect
40. #1956	C₂²	semidirect
41. #1880	C₂²	semidirect
42. #1877	C₂²	semidirect
43. #1835	C₂²	semidirect
44. #1834	C₂²	semidirect
45. #1746	C₂²	semidirect
46. #1744	C₂²	semidirect
55. C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
84. #492	C₂×C₄	semidirect
85. #492	C₂×C₄	semidirect
92. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
#34210	2
#34209	2
#22275	2
#22268	2
#21203	2
#21202	2
#20936	2
#20933	2
#20760	2
#20366	2