Subgroups — #6376432

Order 512.

2950 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22276	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22269	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20934	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#518	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#493	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2366	—	2	8	no	—
19	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
20	#2328	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#2309	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄×#127	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#2285	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1961	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1879	C₂²	1	64	yes	complemented
28	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1735	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×D₈	—	4	16	no	—
37	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
38	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	—	2	8	no	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
44	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
46	#518	—	4	16	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#493	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
55	#493	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
56	#418	—	4	16	no	—
57	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
58	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	#390	—	2	8	no	—
65	#390	—	2	16	no	—
66	#390	C₂³	1	16	yes	—
67	#386	—	2	32	no	—
68	#384	C₂³	1	4	yes	—
69	#382	C₂³	1	4	yes	—
70	#380	—	2	4	no	—
71	#379	—	2	8	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
75	#376	C₂³	1	2	yes	—
76	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
77	#340	C₂³	1	16	yes	—
78	#336	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂⁵	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
87	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
88	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×D₈	—	4	64	no	—
94	C₂×D₈	—	4	32	no	—
95	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	64	yes	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
102	#127	—	2	32	no	—
103	#127	—	2	8	no	—
104	#127	—	2	8	no	—
105	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
106	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
107	C₄×D₄	—	4	32	no	—
108	C₄×D₄	—	4	32	no	—
109	C₄×D₄	—	8	32	no	—
110	#117	—	2	8	no	—
111	#117	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	#102	—	4	32	no	—
129	#97	—	2	4	no	—
130	C₄×C₈	—	2	4	no	—
131	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	#95	—	2	8	no	—
134	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂⁴	—	2	8	no	—
136	C₂⁴	—	2	16	no	—
137	C₂⁴	—	4	8	no	—
138	C₂⁴	—	4	8	no	—
139	C₂⁴	—	8	16	no	—
140	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×D₄	—	2	16	no	—
142	C₂×D₄	—	2	32	no	—
143	C₂×D₄	—	2	32	no	—
144	C₂×D₄	—	2	64	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	16	no	—
147	C₂×D₄	—	2	16	no	—
148	C₂×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂×D₄	—	4	8	no	—
150	C₂×D₄	—	4	32	no	—
151	C₂×D₄	—	4	32	no	—
152	C₂×D₄	—	8	64	no	—
153	C₂×D₄	—	8	16	no	—
154	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
158	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
159	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
168	D₈	—	4	64	no	—
169	M₁₆	—	4	8	no	—
170	C₂×C₈	—	2	16	no	—
171	C₂×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	8	no	—
174	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
175	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
182	C₄²	—	2	16	no	—
183	C₄²	—	2	8	no	—
184	C₄²	—	4	8	no	—
185	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
186	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
188	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
189	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	16	no	—
192	C₂³	—	4	8	no	—
193	C₂³	—	4	8	no	—
194	C₂³	—	4	32	no	—
195	C₂³	—	4	32	no	—
196	C₂³	—	8	32	no	—
197	C₂³	—	16	16	no	—
198	C₂³	—	16	16	no	—
199	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂³	#535	1	4	yes	—
201	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
202	D₄	—	2	32	no	—
203	D₄	—	4	32	no	—
204	D₄	—	4	16	no	—
205	D₄	—	4	64	no	—
206	D₄	—	8	32	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂×C₄	—	16	32	no	—
214	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
218	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
220	C₂×C₄	#576	1	8	yes	—
221	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
224	C₈	—	2	8	no	—
225	C₈	—	4	4	no	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	8	no	—
228	C₂²	—	4	32	no	—
229	C₂²	—	4	16	no	—
230	C₂²	—	8	16	no	—
231	C₂²	—	8	16	no	—
232	C₂²	—	16	32	no	—
233	C₂²	#2328	1	4	yes	—
234	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
236	C₂²	C₂×#576	1	4	yes	—
237	C₄	—	2	4	no	—
238	C₄	—	4	8	no	—
239	C₄	—	8	8	no	—
240	C₄	#2328	1	4	yes	—
241	C₄	#2948	1	8	yes	—
242	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
243	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
244	C₂	—	2	4	no	—
245	C₂	—	8	16	no	—
246	C₂	C₂×#2328	1	1	yes	characteristic
247	C₂	C₂×#2948	1	2	yes	—
248	C₂	#60817	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34210	C₂	semidirect
3. #22276	C₂	semidirect
4. #22269	C₂	semidirect
5. #21203	C₂	semidirect
6. #20934	C₂	semidirect
7. #20760	C₂	semidirect
8. #20366	C₂	semidirect
12. C₂×#493	C₄	semidirect
20. #2328	C₂²	semidirect
22. C₄×#127	C₂²	semidirect
25. #1961	C₂²	semidirect
26. #1957	C₂²	semidirect
27. #1879	C₂²	semidirect
28. #1835	C₂²	semidirect
29. #1834	C₂²	semidirect
30. #1746	C₂²	semidirect
31. #1744	C₂²	semidirect
37. C₂²×D₈	C₂×C₄	semidirect
43. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
54. #493	C₂×C₄	semidirect
55. #493	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
#34210	2
#22276	2
#22269	2
#21203	2
#20934	2
#20760	2
#20366	2