Subgroups — #6376434

Order 512.

2498 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22274	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22271	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20936	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20935	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20934	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20933	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#495	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2367	—	2	8	no	—
28	#2342	—	2	8	no	—
29	#2326	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#2310	C₂²	1	2	yes	—
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#124	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#2285	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1959	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1958	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1880	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1879	C₂²	1	16	yes	—
39	#1878	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1877	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1735	C₂²	1	2	yes	—
47	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1729	C₂²	1	2	yes	—
49	#1729	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
56	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
57	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
60	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#124	—	2	4	no	—
66	C₂×#124	—	2	8	no	—
67	C₂×#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
70	#519	—	4	4	no	—
71	#519	—	4	4	no	—
72	#518	—	4	4	no	—
73	#518	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#117	—	2	4	no	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#495	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
86	#495	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
87	#419	—	4	4	no	—
88	#419	—	4	4	no	—
89	#418	—	4	4	no	—
90	#418	—	4	4	no	—
91	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
95	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#391	—	2	4	no	—
102	#391	C₂³	1	8	yes	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	C₂³	1	8	yes	—
105	#388	—	2	16	no	—
106	#388	—	2	16	no	—
107	#385	—	2	16	no	—
108	#384	C₂³	1	4	yes	—
109	#382	C₂³	1	4	yes	—
110	#381	—	2	4	no	—
111	#380	—	2	4	no	—
112	#379	—	2	4	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
117	#376	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
119	#340	C₂³	1	4	yes	—
120	#340	C₂³	1	8	yes	—
121	#340	C₂³	1	4	yes	—
122	#336	C₂³	1	8	yes	—
123	#336	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂⁵	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
151	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
152	C₂×D₈	—	4	16	no	—
153	C₂×D₈	—	4	8	no	—
154	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
165	#124	—	2	32	no	—
166	#124	—	2	8	no	—
167	#124	—	2	8	no	—
168	#124	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	#124	C₂²×C₄	1	16	yes	—
170	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
173	C₄×D₄	—	4	8	no	—
174	C₄×D₄	—	4	8	no	—
175	C₄×D₄	—	4	16	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	—	2	4	no	—
182	#117	—	4	16	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	#103	—	4	8	no	—
208	#103	—	4	8	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	#102	—	4	8	no	—
211	#97	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	—	2	16	no	—
217	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	2	8	no	—
220	C₂⁴	—	4	4	no	—
221	C₂⁴	—	4	4	no	—
222	C₂⁴	—	8	8	no	—
223	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	16	no	—
239	C₂×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
259	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
269	Q₁₆	—	4	16	no	—
270	SD₁₆	—	4	32	no	—
271	D₈	—	4	16	no	—
272	M₁₆	—	4	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	4	16	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
303	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	2	8	no	—
309	C₂³	—	4	16	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	16	no	—
313	C₂³	—	8	16	no	—
314	C₂³	—	16	8	no	—
315	C₂³	—	16	8	no	—
316	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₂³	#535	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	Q₈	—	4	16	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	D₄	—	2	8	no	—
325	D₄	—	2	8	no	—
326	D₄	—	4	16	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	16	16	no	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	2	4	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	4	16	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	8	8	no	—
363	C₂²	—	16	16	no	—
364	C₂²	#2328	1	4	yes	—
365	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
367	C₂²	#3584	1	4	yes	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	8	no	—
371	C₄	—	4	8	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	#2328	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
378	C₂	—	2	4	no	—
379	C₂	—	8	8	no	—
380	C₂	C₂×#2328	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#60167	1	2	yes	—
382	C₂	#60819	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34211	C₂	semidirect
3. #22274	C₂	semidirect
4. #22271	C₂	semidirect
5. #21204	C₂	semidirect
6. #20936	C₂	semidirect
7. #20935	C₂	semidirect
9. #20933	C₂	semidirect
10. #20760	C₂	semidirect
11. #20366	C₂	semidirect
18. C₂×#495	C₄	semidirect
29. #2326	C₂²	semidirect
32. C₄×#124	C₂²	semidirect
35. #1959	C₂²	semidirect
36. #1958	C₂²	semidirect
37. #1880	C₂²	semidirect
39. #1878	C₂²	semidirect
40. #1877	C₂²	semidirect
41. #1835	C₂²	semidirect
42. #1834	C₂²	semidirect
43. #1746	C₂²	semidirect
44. #1744	C₂²	semidirect
53. C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
57. C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
85. #495	C₂×C₄	semidirect
86. #495	C₂×C₄	semidirect
97. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
#34211	2
#22274	2
#22271	2
#21204	2
#20936	2
#20935	2
#20934	2
#20933	2
#20760	2
#20366	2