Subgroups — #6376443

Order 512.

2434 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34070	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2327	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22278	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22277	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22275	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20926	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#20365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#3152	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#497	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2328	C₂²	1	2	yes	—
27	#2327	—	2	4	no	—
28	#2327	C₂²	1	4	yes	—
29	#2327	C₂²	1	2	yes	—
30	#2327	C₂²	1	4	yes	—
31	#2326	C₂²	1	4	yes	—
32	#2325	—	2	4	no	—
33	#2297	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
35	#2290	—	2	4	no	—
36	C₂×#387	—	2	4	no	—
37	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1961	C₂²	1	2	yes	—
41	#1960	C₂²	1	4	yes	—
42	#1960	C₂²	1	2	yes	—
43	#1958	C₂²	1	4	yes	—
44	#1956	C₂²	1	4	yes	—
45	#1880	C₂²	1	16	yes	—
46	#1878	C₂²	1	16	yes	—
47	#1878	C₂²	1	16	yes	—
48	#1877	C₂²	1	16	yes	—
49	#1836	C₂²	1	4	yes	—
50	#1835	C₂²	1	4	yes	—
51	#1746	C₂²	1	4	yes	—
52	#1746	C₂²	1	4	yes	—
53	#1736	C₂²	1	4	yes	—
54	#1728	C₂²	1	2	yes	—
55	#1728	C₂²	1	2	yes	—
56	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#137	—	4	8	no	—
59	C₂×#137	—	4	8	no	—
60	C₂×#137	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	#532	—	2	4	no	—
66	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#121	—	2	2	no	—
76	C₄×#41	—	4	8	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	4	8	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#117	—	2	2	no	—
85	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#497	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
95	#494	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
96	#492	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
97	#419	—	4	8	no	—
98	#417	—	4	8	no	—
99	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	#391	—	2	4	no	—
109	#391	C₂³	1	4	yes	—
110	#391	C₂³	1	8	yes	—
111	#390	C₂³	1	4	yes	—
112	#388	—	2	8	no	—
113	#387	—	2	8	no	—
114	#387	—	2	16	no	—
115	#387	—	2	16	no	—
116	#386	—	2	4	no	—
117	#386	—	2	8	no	—
118	#385	—	2	8	no	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	—	2	2	no	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	C₂³	1	2	yes	—
123	#382	C₂³	1	2	yes	—
124	#380	—	2	2	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	#376	D₄	1	4	yes	—
128	#376	C₂³	1	2	yes	—
129	#376	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×#95	—	2	2	no	—
131	C₂×#95	—	2	4	no	—
132	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
133	#340	C₂³	1	16	yes	—
134	#336	C₂³	1	8	yes	—
135	#336	C₂³	1	8	yes	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	8	no	—
138	C₂×#41	—	2	8	no	—
139	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	#137	—	4	64	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
162	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
164	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
165	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	#127	—	2	2	no	—
181	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	#124	—	2	4	no	—
183	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
184	#121	—	2	16	no	—
185	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
186	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
187	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
188	C₄×D₄	—	2	16	no	—
189	C₄×D₄	—	4	8	no	—
190	C₄×D₄	—	4	16	no	—
191	#117	—	2	8	no	—
192	#117	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	#103	—	4	8	no	—
226	#103	—	4	16	no	—
227	#102	—	4	8	no	—
228	#97	—	2	4	no	—
229	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
232	#95	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	16	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
239	C₂⁴	—	2	2	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	2	32	no	—
242	#41	—	4	16	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
254	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₁₆	—	4	32	no	—
296	SD₁₆	—	4	32	no	—
297	M₁₆	—	2	16	no	—
298	M₁₆	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	4	8	no	—
323	C₄²	—	4	16	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
326	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂³	—	2	4	no	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	4	8	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₂³	#535	1	2	yes	—
337	C₂³	#535	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	2	16	no	—
340	Q₈	—	2	8	no	—
341	Q₈	—	4	16	no	—
342	Q₈	—	4	8	no	—
343	Q₈	—	4	4	no	—
344	D₄	—	2	8	no	—
345	D₄	—	4	16	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	16	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	16	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	8	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	16	no	—
370	C₂×C₄	—	8	8	no	—
371	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
375	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
378	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
382	C₈	—	2	8	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	#2328	1	4	yes	—
392	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3586	1	4	yes	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	#2328	1	4	yes	—
405	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
406	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
407	C₂	—	2	4	no	—
408	C₂	—	8	4	no	—
409	C₂	C₂×#2328	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#60169	1	2	yes	—
411	C₂	#60807	1	2	yes	—
412	C₂	#60809	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2327	C₂	semidirect
4. #22278	C₂	semidirect
5. #22277	C₂	semidirect
6. #22275	C₂	semidirect
7. #21202	C₂	semidirect
9. #20927	C₂	semidirect
10. #20926	C₂	semidirect
11. #20765	C₂	semidirect
12. #20365	C₂	semidirect
18. #3152	C₄	semidirect
60. C₂×#137	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
94. #497	C₂×C₄	semidirect
95. #494	C₂×C₄	semidirect
96. #492	C₂×C₄	semidirect
103. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
#34070	2
C₂×#2327	2
#22278	2
#22277	2
#22275	2
#21202	2
#21201	2
#20927	2
#20926	2
#20765	2
#20365	2