Subgroups — #6376458

Order 512.

2360 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60144	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22282	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22280	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20919	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#568	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	#3147	C₄	1	4	yes	complemented
13	#3147	C₄	1	4	yes	complemented
14	#3147	C₂²	1	4	yes	—
15	#3147	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#495	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#492	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2935	—	2	8	no	—
21	D₄×M₁₆	—	2	8	no	—
22	#2932	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#2931	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#421	C₂²	1	8	yes	—
26	#2879	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1963	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1962	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1876	C₂²	1	64	yes	complemented
33	#1837	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1837	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
38	#1729	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#135	—	4	16	no	—
41	C₂×#135	C₂×C₄	1	16	yes	—
42	C₂×#135	C₂³	1	16	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#568	—	4	16	no	—
47	C₂×#131	—	2	8	no	—
48	C₂×#131	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	#532	—	2	4	no	—
54	#532	—	2	4	no	—
55	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#532	C₂³	1	4	yes	—
58	#532	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#121	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#495	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	#495	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#436	—	2	16	no	—
75	#435	—	2	32	no	—
76	C₈×D₄	—	2	16	no	—
77	#423	—	2	4	no	—
78	#423	C₂³	1	4	yes	—
79	#423	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
81	#421	—	4	16	no	—
82	C₂×#104	C₂³	1	32	yes	—
83	#408	—	2	8	no	—
84	#408	C₂³	1	16	yes	—
85	#407	—	2	8	no	—
86	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
87	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	#376	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
101	#341	C₂³	1	16	yes	—
102	#336	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	16	no	—
106	C₂×#41	—	2	16	no	—
107	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	C₂×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#135	—	4	32	no	—
117	#135	—	4	32	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
121	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
122	C₂×D₈	—	4	8	no	—
123	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
124	#131	—	4	32	no	—
125	#131	—	4	32	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	#127	—	2	4	no	—
146	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	#124	—	2	8	no	—
149	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	#121	—	2	8	no	—
152	#121	—	2	8	no	—
153	#121	—	2	8	no	—
154	#121	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	2	8	no	—
156	C₄×D₄	—	2	8	no	—
157	C₄×D₄	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	8	no	—
159	#117	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
177	#104	—	4	32	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
179	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	#41	—	2	32	no	—
191	#41	—	2	16	no	—
192	#41	—	2	16	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	#41	—	4	8	no	—
195	#41	—	4	16	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
198	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	4	16	no	—
206	C₂×D₄	—	8	8	no	—
207	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	4	16	no	—
229	SD₁₆	—	4	32	no	—
230	D₈	—	4	16	no	—
231	M₁₆	—	2	8	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	2	16	no	—
234	M₁₆	—	4	32	no	—
235	M₁₆	—	4	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	32	no	—
243	C₂×C₈	—	4	8	no	—
244	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	4	8	no	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	8	8	no	—
269	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#540	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	2	16	no	—
274	Q₈	—	4	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	4	16	no	—
277	D₄	—	4	16	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	16	no	—
280	D₄	—	8	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	16	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	2	8	no	—
311	C₈	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	4	16	no	—
318	C₂²	—	16	8	no	—
319	C₂²	#2328	1	2	yes	—
320	C₂²	#2328	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#540	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	4	8	no	—
327	C₄	—	8	4	no	—
328	C₄	#2328	1	2	yes	—
329	C₄	#2328	1	2	yes	—
330	C₄	#2957	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	2	no	—
334	C₂	—	2	2	no	—
335	C₂	—	2	2	no	—
336	C₂	—	8	8	no	—
337	C₂	C₂×#2328	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#2957	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×C₄×D₄
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60144	C₂	semidirect
3. #22282	C₂	semidirect
4. #22280	C₂	semidirect
5. #21209	C₂	semidirect
6. #20919	C₂	semidirect
7. C₂×#1837	C₂	semidirect
8. #20366	C₂	semidirect
12. #3147	C₄	semidirect
13. #3147	C₄	semidirect
16. C₂×#495	C₄	semidirect
17. C₂×#494	C₄	semidirect
18. C₂×#493	C₄	semidirect
19. C₂×#492	C₄	semidirect
22. #2932	C₂²	semidirect
23. #2931	C₂²	semidirect
30. #1963	C₂²	semidirect
31. #1962	C₂²	semidirect
32. #1876	C₂²	semidirect
33. #1837	C₂²	semidirect
34. #1837	C₂²	semidirect
35. #1746	C₂²	semidirect
36. #1744	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#60144	2
#22282	2
#22280	2
#21209	2
#20919	2
C₂×#1837	2
#20366	2