Subgroups — #6376521

Order 512.

1730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34085	C₂	1	2	yes	maximal
3	#22277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22229	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22197	C₂	1	4	yes	maximal
7	#22192	C₂	1	4	yes	maximal
8	#21404	C₂	1	2	yes	maximal
9	#21119	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21116	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#20818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
14	#3170	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2336	—	2	4	no	—
25	#2332	—	2	4	no	—
26	#2331	C₂²	1	4	yes	—
27	#2327	C₂²	1	4	yes	—
28	#2323	C₂²	1	8	yes	—
29	#2298	—	2	4	no	—
30	#2295	—	2	4	no	—
31	#2295	C₂²	1	4	yes	—
32	#2283	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1993	C₂²	1	4	yes	—
36	#1960	C₂²	1	4	yes	—
37	#1928	C₂²	1	8	yes	—
38	#1927	C₂²	1	8	yes	—
39	#1921	C₂²	1	8	yes	—
40	#1918	C₂²	1	8	yes	—
41	#1894	C₂²	1	8	yes	—
42	#1878	C₂²	1	8	yes	—
43	#1878	C₂²	1	8	yes	—
44	#1865	C₂²	1	8	yes	—
45	#1863	C₂²	1	8	yes	—
46	#1846	C₂²	1	2	yes	—
47	#1835	C₂²	1	2	yes	—
48	#1808	C₂²	1	2	yes	—
49	#1807	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
54	#1746	C₂²	1	2	yes	—
55	#1746	C₂²	1	2	yes	—
56	#1744	C₂²	1	2	yes	—
57	#1744	C₂²	1	2	yes	—
58	#1729	C₂²	1	2	yes	—
59	#1729	C₂²	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#533	—	2	8	no	—
66	#533	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#117	—	2	2	no	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	#494	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#487	C₂×C₄	1	16	yes	—
81	#467	C₂×C₄	1	16	yes	—
82	#467	C₂×C₄	1	16	yes	—
83	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
84	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
93	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#391	—	2	8	no	—
102	#391	C₂³	1	8	yes	—
103	#389	—	2	8	no	—
104	#389	C₂³	1	8	yes	—
105	#388	—	2	8	no	—
106	#388	—	2	8	no	—
107	#387	—	2	8	no	—
108	#387	—	2	8	no	—
109	#387	—	2	8	no	—
110	#387	—	2	8	no	—
111	#387	—	2	8	no	—
112	#383	—	2	2	no	—
113	#382	C₂³	1	4	yes	—
114	#381	—	2	2	no	—
115	#380	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
125	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
126	#376	—	2	2	no	—
127	#376	—	2	4	no	—
128	#376	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄³	—	2	4	no	—
130	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
131	#340	C₂³	1	4	yes	—
132	#340	C₂³	1	4	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	8	yes	—
135	#336	C₂³	1	4	yes	—
136	#336	C₂³	1	4	yes	—
137	#336	C₂³	1	4	yes	—
138	#336	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
147	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	#125	—	2	16	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
168	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
173	#117	—	2	16	no	—
174	#117	—	4	2	no	—
175	#117	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	#107	—	4	4	no	—
203	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
204	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
205	#106	—	4	4	no	—
206	#103	—	4	8	no	—
207	#103	—	4	8	no	—
208	#103	C₂²×C₄	1	16	yes	—
209	#103	C₂²×C₄	1	16	yes	—
210	#97	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	4	no	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	8	no	—
223	#95	—	2	8	no	—
224	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
232	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
251	Q₁₆	—	4	8	no	—
252	Q₁₆	—	4	8	no	—
253	M₁₆	—	4	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
278	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
282	C₄²	—	2	16	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	16	no	—
288	C₄²	—	4	8	no	—
289	C₄²	—	8	8	no	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
291	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	2	8	no	—
302	Q₈	—	2	8	no	—
303	Q₈	—	4	8	no	—
304	Q₈	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3449	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
346	C₂²	#3584	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	8	no	—
352	C₄	—	4	8	no	—
353	C₄	—	4	8	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	#2950	1	4	yes	—
356	C₄	#3428	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#3428	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3455	1	2	yes	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	#34070	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#2950	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#60167	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#60957	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22277	C₂	semidirect
4. #22254	C₂	semidirect
5. #22229	C₂	semidirect
9. #21119	C₂	semidirect
10. #21116	C₂	semidirect
14. #3170	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#34085	2
#22277	2
#22254	2
#22229	2
#22197	2
#22192	2
#21404	2
#21119	2
#21116	2
#20818	2
#20366	2