Subgroups — C₂×#22441 #6379120

Order 512.

4898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22441	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#1972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1788	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#135	—	2	16	no	—
12	C₂²×#135	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#135	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#441	—	2	16	no	—
20	C₂×#441	C₂²	1	16	yes	complemented
21	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	#2341	—	2	8	no	—
27	#2341	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂×#390	—	2	4	no	—
29	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#380	—	2	2	no	—
31	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1972	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1880	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#1807	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1788	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1752	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	4	no	—
42	C₂²×#41	—	2	8	no	—
43	C₂²×#41	—	2	16	no	—
44	C₂²×#41	—	4	8	no	—
45	C₂²×#41	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#135	—	2	128	no	—
53	C₂×#135	—	2	64	no	—
54	C₂×#135	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
55	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	D₄	1	16	yes	—
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
59	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
62	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
65	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	4	8	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#441	—	2	64	no	—
83	C₂×#106	—	2	8	no	—
84	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×#103	—	2	16	no	—
86	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#102	—	4	8	no	—
88	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#97	—	2	8	no	—
92	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
93	#390	—	2	32	no	—
94	#390	—	2	8	no	—
95	#390	C₂³	1	16	yes	—
96	#380	—	2	4	no	—
97	#380	—	2	16	no	—
98	#380	C₂³	1	8	yes	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#95	—	2	2	no	—
103	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
104	#340	C₂³	1	8	yes	—
105	#336	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂⁵	—	2	2	no	—
107	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×#41	—	2	32	no	—
109	C₂×#41	—	2	16	no	—
110	C₂×#41	—	2	64	no	—
111	C₂×#41	—	2	32	no	—
112	C₂×#41	—	4	32	no	—
113	C₂×#41	—	4	16	no	—
114	C₂×#41	—	4	32	no	—
115	C₂×#41	—	4	64	no	—
116	C₂×#41	C₂²×C₄	1	32	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
130	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#135	—	2	256	no	—
147	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
148	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
149	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	32	yes	—
150	C₂×SD₁₆	—	2	64	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
152	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
153	C₂×D₈	—	2	32	no	—
154	C₂×D₈	—	2	16	no	—
155	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
192	#106	—	2	16	no	—
193	#103	—	2	32	no	—
194	#102	—	4	16	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
196	#97	—	2	16	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	64	no	—
212	#41	—	4	32	no	—
213	#41	—	4	128	no	—
214	#41	—	4	64	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
222	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
223	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
224	C₂×D₄	—	2	32	no	—
225	C₂×D₄	—	2	16	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	16	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	64	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	16	no	—
235	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
269	SD₁₆	—	2	64	no	—
270	D₈	—	2	32	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	32	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
279	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	32	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	8	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	8	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	16	no	—
310	C₂³	—	8	16	no	—
311	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
312	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
314	C₂³	#575	1	4	yes	—
315	C₂³	#577	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	32	no	—
318	Q₈	—	2	8	no	—
319	Q₈	—	2	16	no	—
320	Q₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	4	64	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	32	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	64	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	8	16	no	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	4	4	no	—
356	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	16	no	—
362	C₂²	—	4	8	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	4	8	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	8	no	—
367	C₂²	—	8	32	no	—
368	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
369	C₂²	#2943	1	4	yes	—
370	C₂²	#2952	1	4	yes	—
371	C₂²	#3271	1	16	yes	—
372	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	16	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	8	8	no	—
380	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
381	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
383	C₄	C₂×#546	1	2	yes	—
384	C₂	—	4	4	no	—
385	C₂	—	8	8	no	—
386	C₂	#22441	1	8	yes	direct product factor
387	C₂	C₂×D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#2943	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#2952	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#3271	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#441	C₂	semidirect
3. C₂×#2341	C₂	semidirect
4. #22441	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#1972	C₂	semidirect
6. C₂×#1880	C₂	semidirect
7. C₂×#1807	C₂	semidirect
8. C₂×#1788	C₂	semidirect
9. C₂×#1752	C₂	semidirect
12. C₂²×#135	C₄	semidirect
20. C₂×#441	C₂²	semidirect
27. #2341	C₂²	semidirect
34. #1972	C₂²	semidirect
35. #1880	C₂²	semidirect
36. #1807	C₂²	semidirect
37. #1788	C₂²	semidirect
38. #1752	C₂²	semidirect
54. C₂×#135	C₂×C₄	semidirect
147. C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
268. Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
386. C₂	#22441	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#135	2
C₂²×#441	2
C₂×#2341	2
#22441	2
C₂×#1972	2
C₂×#1880	2
C₂×#1807	2
C₂×#1788	2
C₂×#1752	2

Subgroups — C2×#22441 #6379120

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22441 #6379120