Subgroups — #6379136

Order 512.

4786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#34172	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22448	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22438	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21232	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20933	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#135	—	2	16	no	—
13	C₂²×#135	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#518	C₂²	1	4	yes	—
21	#2948	—	2	16	no	—
22	C₂×#442	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
29	#2339	—	2	8	no	—
30	#2339	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#2310	C₂²	1	4	yes	—
32	#2308	—	2	4	no	—
33	#2280	C₂²	1	2	yes	—
34	#2280	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#381	—	2	4	no	—
36	#1971	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1969	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1877	C₂²	1	32	yes	complemented
39	#1808	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1807	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1788	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1752	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1735	C₂²	1	2	yes	—
45	#1729	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	—	2	4	no	—
47	C₂²×#41	—	2	8	no	—
48	C₂²×#41	—	2	16	no	—
49	C₂²×#41	—	4	8	no	—
50	C₂²×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
51	C₂²×#41	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#135	—	2	128	no	—
58	C₂×#135	—	2	32	no	—
59	C₂×#135	—	2	32	no	—
60	C₂×#135	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
61	C₂×#135	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
62	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
67	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×D₈	D₄	1	16	yes	—
71	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
75	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#518	—	2	16	no	—
81	#518	—	4	8	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	#442	—	2	32	no	—
88	C₄×D₈	—	2	32	no	—
89	#427	—	2	8	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
92	#419	—	4	8	no	—
93	#418	—	2	16	no	—
94	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
96	#407	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	#405	—	2	8	no	—
99	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
101	#391	—	2	8	no	—
102	#391	C₂³	1	16	yes	—
103	#386	—	2	32	no	—
104	#381	—	2	2	no	—
105	#381	—	2	8	no	—
106	#381	—	2	16	no	—
107	#381	D₄	1	2	yes	—
108	#380	D₄	1	4	yes	—
109	#380	C₂³	1	8	yes	—
110	#379	—	2	2	no	—
111	#379	D₄	1	2	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×#95	—	2	16	no	—
115	#340	C₂³	1	8	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁵	—	2	2	no	—
118	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×#41	—	2	32	no	—
120	C₂×#41	—	2	16	no	—
121	C₂×#41	—	2	64	no	—
122	C₂×#41	—	2	32	no	—
123	C₂×#41	—	4	32	no	—
124	C₂×#41	—	4	16	no	—
125	C₂×#41	—	4	32	no	—
126	C₂×#41	—	4	64	no	—
127	C₂×#41	C₂²×C₄	1	32	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
140	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
149	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#135	—	2	128	no	—
157	#135	—	2	128	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	64	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
165	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
166	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
167	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
170	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
171	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄×D₄	—	2	32	no	—
188	C₄×D₄	—	4	16	no	—
189	C₄×D₄	—	4	32	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	2	8	no	—
193	#117	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
204	#107	—	2	8	no	—
205	#106	—	2	8	no	—
206	#103	—	4	16	no	—
207	#102	—	2	32	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
209	#97	—	2	8	no	—
210	C₄×C₈	—	2	8	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	—	2	32	no	—
213	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₂⁴	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	8	no	—
217	C₂⁴	—	2	16	no	—
218	C₂⁴	—	4	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	8	no	—
220	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	2	64	no	—
224	#41	—	4	32	no	—
225	#41	—	4	128	no	—
226	#41	—	4	64	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
235	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
236	C₂×D₄	—	2	32	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	16	no	—
239	C₂×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×D₄	—	2	32	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	64	no	—
244	C₂×D₄	—	4	32	no	—
245	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
246	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
247	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
264	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
276	Q₁₆	—	2	16	no	—
277	Q₁₆	—	2	16	no	—
278	SD₁₆	—	2	64	no	—
279	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
280	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	8	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	16	no	—
285	C₂×C₈	—	2	16	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
290	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	2	8	no	—
311	C₂³	—	2	16	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	32	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	4	16	no	—
316	C₂³	—	4	16	no	—
317	C₂³	—	8	16	no	—
318	C₂³	—	8	32	no	—
319	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
320	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
321	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	8	no	—
324	Q₈	—	2	8	no	—
325	Q₈	—	4	16	no	—
326	Q₈	—	4	8	no	—
327	D₄	—	2	32	no	—
328	D₄	—	2	8	no	—
329	D₄	—	2	16	no	—
330	D₄	—	4	64	no	—
331	D₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	16	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	64	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	16	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	16	32	no	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
353	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
357	C₈	—	2	4	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
360	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	16	no	—
367	C₂²	—	4	16	no	—
368	C₂²	—	4	16	no	—
369	C₂²	—	4	32	no	—
370	C₂²	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	8	32	no	—
372	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
373	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
375	C₂²	#3584	1	4	yes	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	4	8	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	8	8	no	—
380	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
381	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
383	C₄	C₂×#546	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	4	4	no	—
386	C₂	—	4	16	no	—
387	C₂	C₂×D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#60167	1	2	yes	—
389	C₂	#61051	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2280 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2948	C₂	semidirect
3. #34172	C₂	semidirect
4. #22448	C₂	semidirect
5. #22438	C₂	semidirect
6. #21232	C₂	semidirect
7. #20933	C₂	semidirect
8. #20658	C₂	semidirect
9. #20600	C₂	semidirect
10. #20385	C₂	semidirect
13. C₂²×#135	C₄	semidirect
22. C₂×#442	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
30. #2339	C₂²	semidirect
36. #1971	C₂²	semidirect
37. #1969	C₂²	semidirect
38. #1877	C₂²	semidirect
39. #1808	C₂²	semidirect
40. #1807	C₂²	semidirect
41. #1788	C₂²	semidirect
42. #1752	C₂²	semidirect
43. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₂²×#41	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×#135	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×#135	C₂×C₄	semidirect
63. C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
67. C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
75. C₂³×C₈	C₂×C₄	semidirect
166. C₂×D₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#135	2
C₂×#2948	2
#34172	2
#22448	2
#22438	2
#21232	2
#20933	2
#20658	2
#20600	2
#20385	2