Subgroups — #6380302

Order 512.

1732 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60192	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22733	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	Q₈×#108	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21178	C₂	1	4	yes	maximal
6	#21177	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20807	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20460	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×M₁₆	C₂²	1	16	yes	—
13	#2962	—	2	8	no	—
14	#2961	—	2	4	no	—
15	#2960	—	2	4	no	—
16	#2960	C₄	1	4	yes	—
17	#2960	C₄	1	8	yes	—
18	#2960	C₄	1	4	yes	—
19	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2905	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2873	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1950	C₂²	1	16	yes	—
35	#1950	C₂²	1	32	yes	—
36	#1849	C₂²	1	8	yes	—
37	#1848	C₂²	1	4	yes	—
38	#1848	C₂²	1	4	yes	—
39	#1848	C₂²	1	8	yes	—
40	#1778	C₂²	1	8	yes	—
41	C₄×#108	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄×#108	C₂²	1	8	yes	—
43	C₄×#108	C₂²	1	4	yes	—
44	#1738	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#533	D₄	1	2	yes	—
56	#533	D₄	1	2	yes	—
57	#533	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	2	yes	—
59	C₂×#125	Q₈	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	Q₈	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#446	—	2	16	no	—
65	#446	—	2	32	no	—
66	#446	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	#446	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
69	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	#430	—	4	8	no	—
72	C₂×#108	—	2	8	no	—
73	C₂×#108	—	2	4	no	—
74	C₂×#108	—	4	4	no	—
75	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	complemented
76	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#108	C₂³	1	16	yes	—
82	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
84	#424	—	2	8	no	—
85	#424	—	2	8	no	—
86	#424	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	#424	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#423	—	2	2	no	—
89	#423	—	2	2	no	—
90	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#423	C₂³	1	8	yes	—
94	#423	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	#405	—	2	8	no	—
99	#405	—	2	8	no	—
100	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
101	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
102	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
104	C₄×M₁₆	C₂³	1	16	yes	—
105	C₂×#97	—	2	2	no	—
106	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
114	#341	C₂³	1	8	yes	—
115	#341	C₂³	1	16	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
154	#125	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	#125	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	#125	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
183	#108	—	2	8	no	—
184	#108	—	2	4	no	—
185	#108	—	2	8	no	—
186	#108	—	2	4	no	—
187	#108	—	4	8	no	—
188	#108	—	4	16	no	—
189	#108	C₂×Q₈	1	8	yes	—
190	#108	C₂×Q₈	1	8	yes	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
194	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
196	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
197	#97	—	2	8	no	—
198	#97	—	2	16	no	—
199	#97	C₂²×C₄	1	16	yes	—
200	C₄×C₈	—	2	8	no	—
201	C₄×C₈	—	2	16	no	—
202	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
206	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
207	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	2	8	no	—
230	M₁₆	—	2	8	no	—
231	M₁₆	—	2	8	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	4	8	no	—
239	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
253	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
256	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
269	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
270	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#557	1	2	yes	—
286	C₂³	Q₈²	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	16	no	—
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	8	no	—
322	C₈	—	2	8	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	—	4	8	no	—
325	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
326	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
333	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	16	no	—
341	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
342	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
343	C₄	#2916	1	4	yes	—
344	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	C₂×Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#2916	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22733	C₂	semidirect
4. Q₈×#108	C₂	semidirect
75. C₂×#108	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60192	2
C₂×#2960	2
#22733	2
Q₈×#108	2
#21178	2
#21177	2
#20807	2
C₂×#1848	2
#20460	2
C₂×C₄×#108	2