Subgroups — #6380305

Order 512.

1721 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60192	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22733	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22733	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	Q₈×#108	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21178	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#1950	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20807	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20459	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	Q₈×M₁₆	C₂²	1	8	yes	—
14	Q₈×M₁₆	C₂²	1	8	yes	—
15	#2962	—	2	4	no	—
16	#2962	—	2	4	no	—
17	#2962	C₄	1	8	yes	—
18	#2962	C₄	1	8	yes	—
19	#2961	—	2	4	no	—
20	#2960	—	2	4	no	—
21	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
29	#2905	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2873	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1950	C₂²	1	4	yes	—
38	#1950	C₂²	1	8	yes	—
39	#1950	C₂²	1	4	yes	—
40	#1950	C₂²	1	16	yes	—
41	#1950	C₂²	1	16	yes	—
42	#1849	C₂²	1	4	yes	—
43	#1849	C₂²	1	8	yes	—
44	#1848	C₂²	1	4	yes	—
45	#1848	C₂²	1	8	yes	—
46	#1778	C₂²	1	4	yes	—
47	#1778	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×#108	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#108	C₂²	1	8	yes	—
50	#1738	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#533	D₄	1	4	yes	—
61	#533	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#125	Q₈	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	Q₈	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	Q₈	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#446	—	2	8	no	—
72	#446	—	2	8	no	—
73	#446	—	2	16	no	—
74	#446	—	2	16	no	—
75	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#446	C₂×C₄	1	32	yes	—
78	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
80	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	#430	—	2	8	no	—
83	#430	—	2	4	no	—
84	#430	—	4	4	no	—
85	#430	Q₈	1	8	yes	complemented
86	C₂×#108	—	4	8	no	—
87	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
93	#424	—	2	8	no	—
94	#424	—	2	8	no	—
95	#424	C₂×C₄	1	16	yes	—
96	#423	—	2	2	no	—
97	#423	—	2	2	no	—
98	#423	C₂³	1	4	yes	—
99	#423	C₂³	1	16	yes	—
100	#423	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#405	—	2	8	no	—
111	#405	—	2	8	no	—
112	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
113	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
116	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
117	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
118	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
119	C₄×M₁₆	C₂³	1	16	yes	—
120	C₂×#97	—	2	2	no	—
121	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
126	#341	C₂³	1	8	yes	—
127	#341	C₂³	1	8	yes	—
128	#341	C₂³	1	8	yes	—
129	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
166	#125	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
167	#125	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
168	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
170	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂²⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#108	—	2	16	no	—
197	#108	—	2	8	no	—
198	#108	—	4	8	no	—
199	#108	—	4	8	no	—
200	#108	—	4	8	no	—
201	#108	C₂×Q₈	1	16	yes	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
208	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	2	16	no	—
218	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
219	#97	C₂²×C₄	1	16	yes	—
220	C₄×C₈	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	16	no	—
223	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
224	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
225	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
229	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	8	no	—
261	M₁₆	C₄×Q₈	1	16	yes	—
262	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	16	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	8	no	—
276	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
287	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
289	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
291	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
298	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	—	4	1	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₂³	#557	1	2	yes	—
307	C₂³	Q₈²	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	8	no	—
310	Q₈	—	4	4	no	—
311	Q₈	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	8	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	—	4	8	no	—
349	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	8	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	8	no	—
367	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
368	C₄	#2916	1	2	yes	—
369	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	4	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	C₂×Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#2916	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#60113	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22733	C₂	semidirect
4. #22733	C₂	semidirect
5. Q₈×#108	C₂	semidirect
85. #430	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60192	2
C₂×#2962	2
#22733	2
Q₈×#108	2
#21178	2
C₂×#1950	2
#20807	2
#20806	2
#20459	2
C₄×#430	2