Subgroups — #6380325

Order 512.

1964 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 265 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×#117	C₂	1	2	yes	maximal
3	#22741	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#22740	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22739	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#22738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21169	C₂	1	6	yes	maximal
8	#20760	C₂	1	3	yes	maximal
9	C₄×#427	C₂	1	3	yes	maximal
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
19	#2355	C₂²	1	12	yes	—
20	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	#2345	—	2	6	no	—
22	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
23	#2295	—	2	6	no	—
24	#2285	C₂²	1	6	yes	—
25	C₄²×Q₈	—	2	2	no	—
26	C₄×#117	C₂²	1	6	yes	—
27	#1949	C₂²	1	24	yes	—
28	#1948	C₂²	1	12	yes	—
29	#1947	C₂²	1	12	yes	—
30	#1835	C₂²	1	6	yes	—
31	#1835	C₂²	1	6	yes	—
32	#1834	C₂²	1	6	yes	—
33	#1834	C₂²	1	6	yes	—
34	C₄×#107	C₂²	1	6	yes	—
35	C₄×#107	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
38	#1735	C₂²	1	3	yes	—
39	#1735	C₂²	1	6	yes	—
40	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	8	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
55	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
57	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
59	#427	—	2	24	no	—
60	C₂×#107	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂×#106	C₂³	1	12	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
71	#391	—	2	12	no	—
72	#389	—	2	12	no	—
73	#387	—	2	24	no	—
74	#384	C₂³	1	12	yes	—
75	#382	C₂³	1	12	yes	—
76	#380	—	2	6	no	—
77	#380	—	2	6	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
85	#376	—	2	6	no	—
86	C₄³	—	2	6	no	—
87	#340	C₂³	1	6	yes	—
88	#340	C₂³	1	6	yes	—
89	#340	C₂³	1	12	yes	—
90	#340	C₂³	1	12	yes	—
91	#340	C₂³	1	2	yes	—
92	#340	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
108	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
109	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
110	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
111	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
112	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
114	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	12	no	—
117	#117	—	2	12	no	—
118	#117	#41	1	8	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
139	#107	—	2	24	no	—
140	#106	—	2	24	no	—
141	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
142	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
143	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
144	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
145	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
146	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
147	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	#95	—	2	12	no	—
149	#95	—	2	12	no	—
150	#95	—	2	12	no	—
151	#95	—	2	12	no	—
152	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
155	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
156	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×Q₈	#135	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₈	—	2	24	no	—
175	C₂×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂×C₈	—	2	6	no	—
177	C₂×C₈	—	2	6	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
183	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
188	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
189	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
190	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
191	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
192	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
195	C₄²	—	2	8	no	—
196	C₄²	—	4	12	no	—
197	C₄²	—	4	24	no	—
198	C₄²	—	8	12	no	—
199	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
200	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
201	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
202	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
203	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
204	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂³	#548	1	4	yes	—
209	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
210	Q₈	—	2	24	no	—
211	Q₈	#427	1	16	yes	complemented
212	C₂×C₄	—	2	6	no	—
213	C₂×C₄	—	2	6	no	—
214	C₂×C₄	—	2	6	no	—
215	C₂×C₄	—	2	24	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	4	12	no	—
218	C₂×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	4	12	no	—
221	C₂×C₄	—	4	12	no	—
222	C₂×C₄	—	4	12	no	—
223	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
225	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
228	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
230	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	#557	1	8	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×#135	1	12	yes	—
233	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	C₈	—	2	6	no	—
238	C₈	—	2	6	no	—
239	C₈	—	2	2	no	—
240	C₈	—	2	2	no	—
241	C₂²	—	2	8	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	#2351	1	4	yes	—
245	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂×#548	1	2	yes	—
247	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
248	C₂²	#3584	1	2	yes	—
249	C₄	—	2	6	no	—
250	C₄	—	2	6	no	—
251	C₄	—	2	6	no	—
252	C₄	—	4	8	no	—
253	C₄	—	8	12	no	—
254	C₄	#2351	1	4	yes	—
255	C₄	C₂×#427	1	12	yes	—
256	C₄	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₄	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
258	C₄	C₂×#557	1	2	yes	—
259	C₂	—	2	4	no	—
260	C₂	C₂×#2351	1	1	yes	characteristic
261	C₂	C₂²×#427	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#60108	1	1	yes	characteristic
263	C₂	#61303	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22741	C₂	semidirect
4. #22740	C₂	semidirect
5. #22739	C₂	semidirect
6. #22738	C₂	semidirect
11. C₂×C₈×Q₈	C₄	semidirect
211. Q₈	#427	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×Q₈	2
Q₈×#117	2
#22741	2
#22740	2
#22739	2
#22738	2
#21169	2
#20760	2
C₄×#427	2