Subgroups — #41×#106 #6380368

Order 512.

2386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄⋊C₄×#41	C₂	1	2	yes	maximal
3	#22738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	Q₈×#106	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22703	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	D₄×#106	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#21359	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#20816	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×#106	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂×C₄×#41	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₈×#41	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#106	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
20	#2351	—	2	2	no	—
21	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	#2349	—	2	6	no	—
23	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
24	#2296	—	2	6	no	—
25	#2285	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
27	#1948	C₂²	1	12	yes	—
28	#1948	C₂²	1	12	yes	—
29	#1853	C₂²	1	24	yes	—
30	#1844	C₂²	1	6	yes	—
31	#1834	C₂²	1	6	yes	—
32	#1807	C₂²	1	6	yes	—
33	#1807	C₂²	1	6	yes	—
34	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
35	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
38	C₄×#106	C₂²	1	6	yes	—
39	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#340	C₂²	1	6	yes	—
41	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
44	C₄×#41	—	4	16	no	—
45	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₄×#41	Q₈	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂×#117	—	2	6	no	—
54	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	6	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
58	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₈×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
61	C₈×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
62	#431	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
63	C₂×#106	—	2	24	no	—
64	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×#106	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂×#106	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	#389	—	2	12	no	—
77	#389	—	2	12	no	—
78	#385	—	2	24	no	—
79	#384	C₂³	1	12	yes	—
80	#382	—	2	6	no	—
81	#380	—	2	6	no	—
82	#380	C₂³	1	12	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×#95	—	2	6	no	—
90	#340	C₂³	1	6	yes	—
91	#340	C₂³	1	12	yes	—
92	#340	C₂³	1	12	yes	—
93	#340	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
95	C₂×#41	SD₁₆	1	16	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
111	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₄×D₄	—	4	48	no	—
115	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
116	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
117	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
118	#117	—	4	24	no	—
119	#117	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
131	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#106	—	2	12	no	—
142	#106	—	2	24	no	—
143	#106	—	4	12	no	—
144	#106	#41	1	8	yes	direct product factor
145	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
146	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
147	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
148	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
150	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
151	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
152	#95	—	2	2	no	—
153	#95	—	2	6	no	—
154	#95	—	2	12	no	—
155	#95	—	2	12	no	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
157	#41	#106	1	64	yes	direct product factor
158	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
160	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
161	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
169	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₈	—	2	6	no	—
182	C₂×C₈	—	2	6	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	24	no	—
185	C₂×C₈	—	4	12	no	—
186	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
188	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
189	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
197	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
198	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
199	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
201	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
202	C₄²	—	4	4	no	—
203	C₄²	—	4	12	no	—
204	C₄²	—	4	24	no	—
205	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
206	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
207	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
208	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
209	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
210	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
211	C₂³	—	2	6	no	—
212	C₂³	—	2	6	no	—
213	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
214	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
215	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	C₂×#106	1	16	yes	complemented
217	D₄	C₂×#106	1	48	yes	complemented
218	C₂×C₄	—	2	6	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	6	no	—
221	C₂×C₄	—	2	6	no	—
222	C₂×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	4	12	no	—
226	C₂×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄	—	4	12	no	—
229	C₂×C₄	—	4	12	no	—
230	C₂×C₄	—	4	12	no	—
231	C₂×C₄	—	8	48	no	—
232	C₂×C₄	C₂×#106	1	48	yes	complemented
233	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
235	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
236	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
240	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
244	C₈	—	2	6	no	—
245	C₈	—	2	2	no	—
246	C₈	—	2	6	no	—
247	C₈	C₄×#41	1	4	yes	complemented
248	C₂²	—	2	6	no	—
249	C₂²	—	2	6	no	—
250	C₂²	—	2	24	no	—
251	C₂²	C₂²×#106	1	12	yes	—
252	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	D₄×#41	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	2	yes	—
255	C₂²	#3584	1	2	yes	—
256	C₄	—	2	6	no	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	6	no	—
259	C₄	—	4	8	no	—
260	C₄	—	8	12	no	—
261	C₄	C₂²×#106	1	4	yes	—
262	C₄	C₂²×#106	1	12	yes	—
263	C₄	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#3428	1	1	yes	characteristic
265	C₄	Q₈×#41	1	2	yes	—
266	C₂	—	2	12	no	—
267	C₂	C₄⋊C₄×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂³×#106	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#60108	1	1	yes	characteristic
270	C₂	SD₁₆×#41	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22738	C₂	semidirect
4. Q₈×#106	C₂	semidirect
5. #22703	C₂	semidirect
6. D₄×#106	C₂	semidirect
7. #21359	C₂	semidirect
8. #20816	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×#106	C₂	semidirect
12. C₈×#41	C₄	semidirect
58. C₈×Q₈	C₂×C₄	semidirect
59. C₈×Q₈	C₂×C₄	semidirect
60. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
61. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
62. #431	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
144. #106	#41	direct (N × H)
157. #41	#106	direct (N × H)
216. Q₈	C₂×#106	semidirect
217. D₄	C₂×#106	semidirect
232. C₂×C₄	C₂×#106	semidirect
247. C₈	C₄×#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
C₄⋊C₄×#41	2
#22738	2
Q₈×#106	2
#22703	2
D₄×#106	2
#21359	2
#20816	2
C₂×C₄×#106	2