Subgroups — #6380412

Order 512.

1793 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	M₁₆×#41	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	Q₈×#108	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22719	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#22669	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#21371	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#20831	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₄×#430	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2971	—	2	2	no	—
12	#2971	C₄	1	4	yes	—
13	#2971	C₄	1	12	yes	—
14	#2970	—	2	6	no	—
15	#2965	—	2	6	no	—
16	C₈×#41	—	2	2	no	—
17	Q₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	D₄×M₁₆	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂×#436	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#436	C₂²	1	3	yes	—
23	#2920	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#432	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#430	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
28	#1950	C₂²	1	12	yes	—
29	#1950	C₂²	1	12	yes	—
30	#1855	C₂²	1	24	yes	—
31	#1848	C₂²	1	6	yes	—
32	#1837	C₂²	1	6	yes	—
33	#1811	C₂²	1	6	yes	—
34	#1811	C₂²	1	6	yes	—
35	#1778	C₂²	1	3	yes	—
36	#1778	C₂²	1	6	yes	—
37	#1778	C₂²	1	6	yes	—
38	#1778	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×#108	C₂²	1	6	yes	—
40	C₄×#108	C₂²	1	6	yes	—
41	#1738	C₂²	1	6	yes	—
42	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
46	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₄×#41	C₂×C₄	1	6	yes	—
48	C₄×#41	D₄	1	2	yes	—
49	C₄×#41	D₄	1	6	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	3	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂×#117	Q₈	1	3	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
56	#446	—	2	12	no	—
57	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
59	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
61	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#436	—	2	12	no	—
63	#436	C₂×C₄	1	12	yes	—
64	#436	C₂×C₄	1	12	yes	—
65	#436	C₂×C₄	1	12	yes	—
66	#436	C₂×C₄	1	12	yes	—
67	#435	—	2	24	no	—
68	C₈×D₄	—	2	12	no	—
69	#432	—	2	6	no	—
70	#432	—	2	6	no	—
71	#432	C₂×C₄	1	12	yes	—
72	#432	C₂×C₄	1	12	yes	—
73	#431	—	2	6	no	—
74	#431	—	2	6	no	—
75	#430	—	2	24	no	—
76	C₂×#108	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#108	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×#108	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
80	#423	C₂³	1	12	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
83	#407	C₂³	1	12	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
85	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
87	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	12	yes	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	12	yes	—
89	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
91	C₄×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×#97	—	2	6	no	—
93	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
98	#341	C₂³	1	6	yes	—
99	#341	C₂³	1	12	yes	—
100	#341	C₂³	1	12	yes	—
101	#341	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
110	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
117	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	12	yes	—
118	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
125	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
127	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
130	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
131	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
132	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
133	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
134	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
135	C₄×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
136	C₄×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
137	#117	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
138	#117	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
139	#117	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	6	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#108	—	2	24	no	—
152	#108	—	2	12	no	—
153	#108	—	4	12	no	—
154	#108	#41	1	8	yes	complemented
155	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
157	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
158	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
159	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
160	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
163	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
164	#97	—	2	2	no	—
165	#97	—	2	6	no	—
166	#97	—	2	12	no	—
167	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	#97	C₂²×C₄	1	12	yes	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	6	no	—
171	C₄×C₈	—	2	12	no	—
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
177	#41	—	2	8	no	—
178	#41	—	4	12	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
181	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×D₄	—	4	6	no	—
183	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
184	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
201	M₁₆	—	2	4	no	—
202	M₁₆	—	2	24	no	—
203	M₁₆	—	2	12	no	—
204	M₁₆	—	2	12	no	—
205	M₁₆	—	4	12	no	—
206	M₁₆	—	4	24	no	—
207	M₁₆	C₂×#41	1	8	yes	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	6	no	—
210	C₂×C₈	—	2	6	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	12	no	—
213	C₂×C₈	—	4	24	no	—
214	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
216	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
217	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
220	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
221	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
224	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
225	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
226	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
227	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
228	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
229	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
230	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
231	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
232	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
233	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
235	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
236	C₂³	—	2	6	no	—
237	C₂³	—	4	3	no	—
238	C₂³	—	4	3	no	—
239	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
240	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	2	6	no	—
242	Q₈	#430	1	4	yes	complemented
243	D₄	—	2	12	no	—
244	D₄	—	4	6	no	—
245	C₂×C₄	—	2	6	no	—
246	C₂×C₄	—	2	6	no	—
247	C₂×C₄	—	2	12	no	—
248	C₂×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂×C₄	—	2	6	no	—
250	C₂×C₄	—	2	12	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	6	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	6	no	—
255	C₂×C₄	—	4	6	no	—
256	C₂×C₄	—	4	3	no	—
257	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
264	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
268	C₈	—	2	6	no	—
269	C₈	—	2	6	no	—
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	2	8	no	—
272	C₈	—	4	12	no	—
273	C₈	C₄×#41	1	4	yes	—
274	C₂²	—	2	1	no	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	2	6	no	—
277	C₂²	—	2	6	no	—
278	C₂²	—	2	6	no	—
279	C₂²	—	8	6	no	—
280	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	Q₈×#41	1	2	yes	—
282	C₄	—	2	6	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	3	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	3	no	—
287	C₄	—	2	3	no	—
288	C₄	C₂×#430	1	6	yes	—
289	C₄	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#3428	1	1	yes	characteristic
291	C₄	D₄×#41	1	2	yes	—
292	C₂	—	2	2	no	—
293	C₂	—	4	6	no	—
294	C₂	C₄⋊C₄×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂²×#430	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#60113	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22746	C₂	semidirect
4. Q₈×#108	C₂	semidirect
5. #22719	C₂	semidirect
6. #22669	C₂	semidirect
7. #21371	C₂	semidirect
8. #20831	C₂	semidirect
9. C₄×#430	C₂	semidirect
154. #108	#41	semidirect
242. Q₈	#430	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
M₁₆×#41	2
C₂×#2971	2
#22746	2
Q₈×#108	2
#22719	2
#22669	2
#21371	2
#20831	2
C₄×#430	2