Subgroups — #6380697

Order 512.

1622 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22824	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#22823	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#21301	C₂	1	2	yes	maximal
5	#21027	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20755	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20438	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20431	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#125	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×#125	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
24	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
25	#2296	C₂²	1	2	yes	—
26	#2295	C₂²	1	4	yes	—
27	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄²×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1985	C₂²	1	16	yes	—
32	#1917	C₂²	1	16	yes	—
33	#1916	C₂²	1	16	yes	—
34	#1842	C₂²	1	4	yes	—
35	#1842	C₂²	1	4	yes	—
36	#1832	C₂²	1	8	yes	—
37	#1831	C₂²	1	8	yes	—
38	#1771	C₂²	1	16	yes	—
39	#1768	C₂²	1	8	yes	—
40	#1767	C₂²	1	4	yes	—
41	#1767	C₂²	1	4	yes	—
42	#1767	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
44	#1729	C₂²	1	4	yes	—
45	#1729	C₂²	1	4	yes	—
46	#1729	C₂²	1	4	yes	—
47	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#533	—	2	4	no	—
52	#533	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#423	—	2	8	no	—
67	#423	—	2	8	no	—
68	#423	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#405	—	4	8	no	—
80	C₂×#97	—	2	8	no	—
81	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#387	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#387	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#385	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	#376	C₂³	1	4	yes	—
107	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
112	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
114	#336	C₂³	1	16	yes	—
115	#336	C₂³	1	16	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	#336	C₂³	1	8	yes	—
118	#336	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
138	#125	—	2	8	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
194	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
196	#97	—	2	16	no	—
197	#97	—	4	8	no	—
198	C₄×C₈	—	4	8	no	—
199	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
200	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
201	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
202	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
203	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
204	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	M₁₆	—	4	16	no	—
237	C₂×C₈	—	2	16	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	16	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	#117	1	4	yes	—
277	C₄²	#117	1	4	yes	—
278	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
279	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂³	#520	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#557	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	#2355	1	4	yes	—
344	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	8	no	—
358	C₄	#2355	1	4	yes	—
359	C₄	#2961	1	4	yes	—
360	C₄	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#559	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	4	no	—
365	C₂	C₂×#2355	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#60125	1	2	yes	—
367	C₂	C₂×#2961	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60192	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#60269	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22824	C₂	semidirect
3. #22823	C₂	semidirect
70. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
#22824	2
#22823	2
#21301	2
#21027	2
#20791	2
#20755	2
#20438	2
#20431	2
C₂×#1767	2