Subgroups — C₂×#23171 #6382712

Order 512.

1756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2962	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23171	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#1986	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1946	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#1922	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1773	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	#3160	C₄	1	8	yes	complemented
12	#3160	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#499	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#499	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#498	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2962	—	2	8	no	—
19	#2962	C₂²	1	16	yes	—
20	C₂×#446	—	2	2	no	—
21	C₂×#446	—	2	4	no	—
22	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
23	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1986	C₂²	1	16	yes	—
35	#1946	C₂²	1	16	yes	—
36	#1922	C₂²	1	32	yes	—
37	C₄×#108	C₂²	1	8	yes	—
38	#1773	C₂²	1	16	yes	—
39	#1770	C₂²	1	8	yes	—
40	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#533	—	2	4	no	—
50	#533	—	2	4	no	—
51	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#533	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#500	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	#500	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#499	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
67	#499	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	#498	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	#446	—	2	32	no	—
70	#446	—	2	16	no	—
71	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
72	C₂×#108	—	2	4	no	—
73	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	complemented
74	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
76	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#427	C₂³	1	8	yes	—
79	#427	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#424	—	2	8	no	—
87	#424	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	#405	—	2	8	no	—
95	#405	C₂³	1	16	yes	—
96	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#97	—	2	4	no	—
99	C₂×#97	—	2	8	no	—
100	C₂×#97	—	2	2	no	—
101	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×#95	—	2	1	no	—
113	#341	C₂³	1	8	yes	—
114	#339	C₂³	1	16	yes	—
115	#339	C₂³	1	16	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	#125	—	2	8	no	—
155	#125	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	#108	—	2	8	no	—
191	#108	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
192	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
193	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
194	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
196	#106	C₂²×C₄	1	16	yes	—
197	#106	C₂²×C₄	1	16	yes	—
198	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	#97	—	2	16	no	—
203	#97	—	2	16	no	—
204	#97	—	2	8	no	—
205	C₄×C₈	—	2	16	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
208	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
209	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
265	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#556	1	2	yes	—
301	C₂³	#557	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	4	16	no	—
304	Q₈	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	8	no	—
346	C₈	—	2	8	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
349	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	#2365	1	2	yes	—
357	C₂²	#2365	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
359	C₂²	#2957	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	#2365	1	2	yes	—
370	C₄	#2365	1	2	yes	—
371	C₄	C₂×#444	1	4	yes	—
372	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	#23171	1	4	yes	direct product factor
380	C₂	C₂×#2365	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂²×#444	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#2957	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23171	C₂	direct (N × H)
11. #3160	C₄	semidirect
13. C₂×#500	C₄	semidirect
14. C₂×#500	C₄	semidirect
15. C₂×#499	C₄	semidirect
16. C₂×#499	C₄	semidirect
17. C₂×#498	C₄	semidirect
64. #500	C₂×C₄	semidirect
65. #500	C₂×C₄	semidirect
66. #499	C₂×C₄	semidirect
67. #499	C₂×C₄	semidirect
68. #498	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×#108	Q₈	semidirect
191. #108	C₂×Q₈	semidirect
379. C₂	#23171	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×#2962	2
#23171	2
C₂×#1986	2
C₂×#1946	2
C₂×#1922	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×#1773	2
C₂×#1770	2

Subgroups — C2×#23171 #6382712

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#23171 #6382712