Subgroups — #6382715

Order 512.

1694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60192	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23172	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#21306	C₂	1	2	yes	maximal
5	#21163	C₂	1	2	yes	maximal
6	#21043	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20446	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	#3162	C₄	1	4	yes	complemented
12	#3162	C₄	1	4	yes	complemented
13	#3162	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#501	C₄	1	8	yes	complemented
15	Q₈×M₁₆	—	2	8	no	—
16	#2962	C₂²	1	16	yes	—
17	#2961	—	2	4	no	—
18	#2960	—	2	4	no	—
19	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
23	#2905	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2873	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1986	C₂²	1	16	yes	—
31	#1946	C₂²	1	8	yes	—
32	#1945	C₂²	1	8	yes	—
33	#1922	C₂²	1	32	yes	—
34	#1778	C₂²	1	8	yes	—
35	#1773	C₂²	1	8	yes	—
36	#1772	C₂²	1	8	yes	—
37	#1771	C₂²	1	8	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
39	#1733	C₂²	1	4	yes	—
40	#1733	C₂²	1	4	yes	—
41	#1729	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#533	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#501	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	#501	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	#501	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	#501	C₂×C₄	1	16	yes	—
64	#446	—	2	16	no	—
65	#446	—	2	32	no	—
66	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	complemented
69	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
71	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#427	C₂³	1	8	yes	—
75	#427	C₂³	1	4	yes	—
76	#427	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#424	—	2	8	no	—
82	#424	C₂³	1	16	yes	—
83	#423	—	2	8	no	—
84	#423	D₄	1	4	yes	—
85	#423	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	#405	—	2	8	no	—
88	#405	—	2	8	no	—
89	#405	C₂³	1	16	yes	—
90	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
101	#384	—	2	1	no	—
102	#382	—	2	1	no	—
103	#380	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	#341	C₂³	1	8	yes	—
106	#339	C₂³	1	16	yes	—
107	#339	C₂³	1	16	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	#125	—	2	4	no	—
143	#125	—	2	4	no	—
144	#125	C₂²×C₄	1	16	yes	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
158	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
175	#108	—	2	8	no	—
176	#108	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
177	#107	C₂²×C₄	1	16	yes	—
178	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	#106	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	#106	C₂²×C₄	1	8	yes	—
182	#106	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	#106	C₂²×C₄	1	8	yes	—
184	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
185	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
186	#97	—	2	16	no	—
187	#97	—	2	8	no	—
188	#97	—	2	8	no	—
189	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
191	C₄×C₈	—	2	16	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
216	M₁₆	—	2	8	no	—
217	M₁₆	—	2	8	no	—
218	M₁₆	—	2	8	no	—
219	M₁₆	—	2	4	no	—
220	M₁₆	—	2	4	no	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	4	4	no	—
223	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
235	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	#556	1	2	yes	—
268	C₂³	#557	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	4	16	no	—
271	Q₈	—	8	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
300	C₈	—	2	4	no	—
301	C₈	—	2	8	no	—
302	C₈	—	2	8	no	—
303	C₈	—	4	4	no	—
304	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
305	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	#2365	1	2	yes	—
312	C₂²	#2365	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	4	16	no	—
319	C₄	—	8	4	no	—
320	C₄	#2365	1	2	yes	—
321	C₄	#2365	1	2	yes	—
322	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₄	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
324	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
325	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂	—	2	1	no	—
327	C₂	—	2	2	no	—
328	C₂	—	2	2	no	—
329	C₂	—	2	1	no	—
330	C₂	C₂×#2365	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#60182	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#423 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23172	C₂	semidirect
11. #3162	C₄	semidirect
12. #3162	C₄	semidirect
14. C₂×#501	C₄	semidirect
68. C₂×#108	Q₈	semidirect
176. #108	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3162	2
#60192	2
#23172	2
#21306	2
#21163	2
#21043	2
C₂×#1778	2
#20446	2
#20438	2