Subgroups — #6382966

Order 512.

1922 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34145	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23221	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#23187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#23162	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23133	C₂	1	4	yes	maximal
7	#23028	C₂	1	4	yes	maximal
8	#21385	C₂	1	2	yes	maximal
9	#21278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#21116	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₄×#441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
15	#3170	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#441	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2370	—	2	4	no	—
28	#2369	C₂²	1	4	yes	—
29	#2368	—	2	4	no	—
30	#2365	C₂²	1	4	yes	—
31	#2360	C₂²	1	8	yes	—
32	#2296	—	2	2	no	—
33	#2295	—	2	4	no	—
34	#2295	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄²×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×#117	—	2	2	no	—
37	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	#1987	C₂²	1	4	yes	—
40	#1981	C₂²	1	4	yes	—
41	#1971	C₂²	1	4	yes	—
42	#1943	C₂²	1	4	yes	—
43	#1935	C₂²	1	8	yes	—
44	#1927	C₂²	1	8	yes	—
45	#1918	C₂²	1	8	yes	—
46	#1878	C₂²	1	8	yes	—
47	#1872	C₂²	1	8	yes	—
48	#1865	C₂²	1	8	yes	—
49	#1776	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
55	#1770	C₂²	1	2	yes	—
56	#1770	C₂²	1	2	yes	—
57	#1763	C₂²	1	8	yes	—
58	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
60	#1752	C₂²	1	2	yes	—
61	#1752	C₂²	1	2	yes	—
62	#1744	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#533	—	2	8	no	—
70	#533	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#125	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#117	—	2	2	no	—
80	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#500	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	#494	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	#487	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
87	#467	C₂×C₄	1	16	yes	—
88	#467	C₂×C₄	1	16	yes	—
89	#441	—	2	16	no	—
90	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
91	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
92	#431	—	2	4	no	—
93	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#106	—	2	8	no	—
96	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#391	—	2	8	no	—
114	#391	C₂³	1	8	yes	—
115	#389	—	2	4	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	—	2	8	no	—
118	#389	C₂³	1	8	yes	—
119	#387	—	2	8	no	—
120	#387	—	2	8	no	—
121	#387	—	2	8	no	—
122	#385	—	2	8	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
132	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
138	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	#376	—	2	4	no	—
140	#376	D₄	1	2	yes	—
141	C₂×#95	—	2	2	no	—
142	C₄³	—	2	4	no	—
143	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
144	#340	C₂³	1	8	yes	—
145	#340	C₂³	1	8	yes	—
146	#340	C₂³	1	4	yes	—
147	#340	C₂³	1	2	yes	—
148	#340	C₂³	1	2	yes	—
149	#336	C₂³	1	4	yes	—
150	#336	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	#125	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
178	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
183	#117	—	2	16	no	—
184	#117	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
208	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
218	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
219	#106	—	2	4	no	—
220	#106	—	2	8	no	—
221	#106	#41	1	8	yes	—
222	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
223	#103	—	2	16	no	—
224	#103	—	4	8	no	—
225	#103	C₂²×C₄	1	16	yes	—
226	#103	C₂²×C₄	1	16	yes	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
228	#97	—	2	8	no	—
229	#97	—	4	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
232	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
233	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
234	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
235	#95	—	2	2	no	—
236	#95	—	2	2	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	#95	—	2	8	no	—
241	#95	—	2	8	no	—
242	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
250	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	Q₁₆	—	2	16	no	—
274	Q₁₆	—	4	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄²	—	2	16	no	—
306	C₄²	—	2	8	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	16	no	—
311	C₄²	—	4	4	no	—
312	C₄²	—	4	8	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	8	8	no	—
315	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
316	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
317	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
325	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	2	8	no	—
327	Q₈	—	2	8	no	—
328	Q₈	—	4	8	no	—
329	Q₈	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	16	no	—
351	C₂×C₄	#441	1	16	yes	complemented
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	C₄×#41	1	4	yes	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	C₂×#441	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	D₄×#41	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
375	C₂²	#3584	1	2	yes	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	4	8	no	—
381	C₄	—	4	8	no	—
382	C₄	—	4	8	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	C₂×#441	1	4	yes	—
385	C₄	C₂×#441	1	4	yes	—
386	C₄	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3428	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3480	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	#34141	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂²×#441	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#60167	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#61438	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23221	C₂	semidirect
4. #23187	C₂	semidirect
5. #23162	C₂	semidirect
9. #21278	C₂	semidirect
10. #21116	C₂	semidirect
11. C₄×#441	C₂	semidirect
15. #3170	C₄	semidirect
84. #500	C₂×C₄	semidirect
85. #494	C₂×C₄	semidirect
86. #487	C₂×C₄	semidirect
90. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
91. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
351. C₂×C₄	#441	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#34145	2
#23221	2
#23187	2
#23162	2
#23133	2
#23028	2
#21385	2
#21278	2
#21116	2
C₄×#441	2
#20473	2
C₂×C₄×#106	2