Subgroups — #6386088

Order 512.

3346 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2973	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22475	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#21822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21740	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20715	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20685	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#529	—	2	16	no	—
9	C₂×#529	C₄	1	8	yes	—
10	C₂×#529	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×#126	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×#125	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#123	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2973	—	2	16	no	—
23	C₂×#435	C₂²	1	16	yes	complemented
24	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
27	#1985	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1870	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1869	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1818	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1817	C₂²	1	8	yes	—
32	#1817	C₂²	1	4	yes	—
33	#1797	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1779	C₂²	1	4	yes	—
35	#1749	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1729	C₂²	1	16	yes	complemented
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
46	#529	—	2	64	no	—
47	#529	—	2	64	no	—
48	C₂×#126	—	2	16	no	—
49	C₂×#126	C₂×C₄	1	16	yes	—
50	C₂×#125	—	2	8	no	—
51	C₂×#125	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#124	—	2	8	no	—
53	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×#123	—	2	16	no	—
55	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#121	—	2	8	no	—
59	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	D₄	1	16	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#117	—	2	8	no	—
71	C₂×#117	—	2	8	no	—
72	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#435	—	2	64	no	—
94	#432	—	2	16	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	#407	—	2	16	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
103	#336	C₂³	1	16	yes	—
104	#336	C₂³	1	32	yes	—
105	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
145	#126	—	2	64	no	—
146	#125	—	2	32	no	—
147	#124	—	2	32	no	—
148	#123	—	2	64	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
150	#121	—	2	32	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
153	C₄×D₄	—	2	32	no	—
154	C₄×D₄	—	2	16	no	—
155	C₄×D₄	—	2	16	no	—
156	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
157	C₄×D₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
158	#117	—	2	32	no	—
159	#117	—	2	16	no	—
160	#117	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
204	#97	—	2	16	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	8	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
213	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	2	16	no	—
220	C₂×D₄	—	2	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	32	no	—
225	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	8	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	32	no	—
276	C₂×C₈	—	8	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
287	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	8	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	8	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	8	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	16	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	16	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	8	16	no	—
314	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂³	#568	1	4	yes	—
317	C₂³	#568	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	16	no	—
320	D₄	—	4	16	no	—
321	D₄	—	4	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	16	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	16	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
358	C₈	—	4	16	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	8	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	8	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	4	16	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	16	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	8	16	no	—
373	C₂²	#2879	1	4	yes	—
374	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3428	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	8	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	4	no	—
387	C₄	#3485	1	4	yes	—
388	C₂	—	2	4	no	—
389	C₂	—	4	4	no	—
390	C₂	—	4	8	no	—
391	C₂	#34172	1	1	yes	characteristic
392	C₂	C₂×#2879	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#60064	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#60291	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#121	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2973	C₂	semidirect
3. #22475	C₂	semidirect
4. #21822	C₂	semidirect
5. #21740	C₂	semidirect
6. #20715	C₂	semidirect
7. #20685	C₂	semidirect
23. C₂×#435	C₂²	semidirect
27. #1985	C₂²	semidirect
28. #1870	C₂²	semidirect
29. #1869	C₂²	semidirect
30. #1818	C₂²	semidirect
33. #1797	C₂²	semidirect
35. #1749	C₂²	semidirect
36. #1729	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#529	2
C₂×#2973	2
#22475	2
#21822	2
#21740	2
#20715	2
#20685	2