Subgroups — #6386208

Order 512.

4430 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 268 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#21818	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#20714	C₂	1	6	yes	maximal
6	C₂⁴×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
8	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	8	yes	—
10	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	3	yes	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
16	#2982	—	2	16	no	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#431	C₂²	1	12	yes	—
19	#1984	C₂²	1	48	yes	complemented
20	#1817	C₂²	1	12	yes	—
21	#1797	C₂²	1	24	yes	—
22	#1779	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	24	yes	—
24	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
25	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
26	C₂³×Q₈	C₈	1	16	yes	complemented
27	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
29	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	—	2	64	no	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	2	64	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
41	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	16	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
50	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	12	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
57	C₈×Q₈	—	2	64	no	—
58	#431	—	2	48	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	24	yes	—
63	#336	C₂³	1	48	yes	—
64	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Q₈	—	2	128	no	—
66	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
67	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
68	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
69	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
71	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	64	yes	—
72	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	24	yes	—
73	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
74	C₂²×Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
75	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
83	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	24	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
95	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
96	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
98	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
99	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
100	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
113	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
120	C₄⋊C₈	—	2	48	no	—
121	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
122	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
123	C₄×C₈	—	2	48	no	—
124	C₂⁴	—	2	2	no	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	2	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
129	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×Q₈	—	2	256	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
135	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	64	yes	complemented
136	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
137	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	48	yes	—
138	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	16	yes	—
139	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
140	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
161	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	12	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	48	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	12	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₈	—	2	16	no	—
177	C₂×C₈	—	2	32	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
180	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
181	C₄²	—	2	24	no	—
182	C₄²	—	2	24	no	—
183	C₄²	—	2	12	no	—
184	C₄²	—	2	12	no	—
185	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
186	C₄²	C₂²×D₄	1	24	yes	—
187	C₂³	—	2	8	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	2	16	no	—
190	C₂³	—	2	8	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	16	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂³	#519	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
201	C₂³	C₂³×C₈	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
203	C₂³	#568	1	4	yes	—
204	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
205	Q₈	—	2	96	no	—
206	Q₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	64	yes	—
207	C₂×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	6	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	6	no	—
215	C₂×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂×C₄	—	2	96	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂×C₄	—	2	6	no	—
220	C₂×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂×C₄	—	4	12	no	—
222	C₂×C₄	—	4	48	no	—
223	C₂×C₄	—	4	12	no	—
224	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	48	yes	—
225	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
228	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	12	yes	—
230	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	12	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	12	yes	—
232	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
234	C₈	—	4	16	no	—
235	C₂²	—	2	32	no	—
236	C₂²	—	2	4	no	—
237	C₂²	—	2	4	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	4	no	—
246	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
247	C₂²	#2982	1	8	yes	complemented
248	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
250	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
253	C₄	—	2	2	no	—
254	C₄	—	2	4	no	—
255	C₄	—	2	12	no	—
256	C₄	—	2	12	no	—
257	C₄	—	4	6	no	—
258	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	24	yes	—
259	C₄	#3486	1	4	yes	—
260	C₂	—	2	4	no	—
261	C₂	—	2	8	no	—
262	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
263	C₂	C₂³×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#60064	1	1	yes	characteristic
265	C₂	C₂×#2982	1	2	yes	—
266	C₂	#60248	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₈
socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2982	C₂	semidirect
3. Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
4. #21818	C₂	semidirect
17. C₂×C₈×Q₈	C₂²	semidirect
19. #1984	C₂²	semidirect
26. C₂³×Q₈	C₈	semidirect
135. C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	semidirect
247. C₂²	#2982	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂×#2982	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
#21818	2
#20714	2