Subgroups — #6386212

Order 512.

4250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22510	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#21820	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#20715	C₂	1	3	yes	maximal
7	#20714	C₂	1	3	yes	maximal
8	C₂⁴×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
10	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	6	yes	—
12	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	3	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#2984	—	2	16	no	—
21	C₂×#446	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#432	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#431	C₂²	1	6	yes	—
25	#1985	C₂²	1	24	yes	complemented
26	#1984	C₂²	1	24	yes	complemented
27	#1817	C₂²	1	6	yes	—
28	#1817	C₂²	1	6	yes	—
29	#1797	C₂²	1	12	yes	—
30	#1797	C₂²	1	12	yes	—
31	#1779	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1779	C₂²	1	3	yes	—
33	#1749	C₂²	1	12	yes	—
34	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	12	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
38	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
39	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	16	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
81	#446	—	2	48	no	—
82	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
83	#432	—	2	24	no	—
84	#431	—	2	24	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×#97	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
93	#336	C₂³	1	24	yes	—
94	#336	C₂³	1	24	yes	—
95	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Q₈	—	2	128	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂²×Q₈	M₁₆	1	16	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
132	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
141	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
142	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
176	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	24	no	—
182	#97	—	2	24	no	—
183	C₄×C₈	—	2	24	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	#131	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	192	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
200	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	24	yes	—
203	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	12	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	24	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
259	C₄²	—	2	12	no	—
260	C₄²	—	2	12	no	—
261	C₄²	—	2	12	no	—
262	C₄²	—	2	12	no	—
263	C₄²	—	2	12	no	—
264	C₄²	—	2	12	no	—
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	16	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂³	#519	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
285	C₂³	#568	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	48	no	—
288	Q₈	—	2	24	no	—
289	Q₈	—	2	48	no	—
290	Q₈	#407	1	16	yes	—
291	C₂×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	48	no	—
294	C₂×C₄	—	2	24	no	—
295	C₂×C₄	—	2	24	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	6	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂×C₄	—	2	6	no	—
302	C₂×C₄	—	2	3	no	—
303	C₂×C₄	—	2	3	no	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	3	no	—
306	C₂×C₄	—	2	24	no	—
307	C₂×C₄	—	2	48	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	6	no	—
311	C₂×C₄	—	2	6	no	—
312	C₂×C₄	—	2	6	no	—
313	C₂×C₄	—	4	24	no	—
314	C₂×C₄	—	4	24	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	12	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	4	12	no	—
328	C₂²	—	2	32	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	#2880	1	4	yes	—
340	C₂²	#2984	1	8	yes	complemented
341	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂³×M₁₆	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	6	no	—
349	C₄	—	2	12	no	—
350	C₄	—	2	6	no	—
351	C₄	—	2	6	no	—
352	C₄	—	4	6	no	—
353	C₄	C₂×#407	1	12	yes	—
354	C₄	#3486	1	4	yes	—
355	C₂	—	2	4	no	—
356	C₂	—	2	8	no	—
357	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂²×#407	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#2880	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#2984	1	2	yes	—
361	C₂	#60248	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2984	C₂	semidirect
3. #22510	C₂	semidirect
4. Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
5. #21820	C₂	semidirect
21. C₂×#446	C₂²	semidirect
22. C₂×C₈×Q₈	C₂²	semidirect
25. #1985	C₂²	semidirect
26. #1984	C₂²	semidirect
340. C₂²	#2984	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂×#2984	2
#22510	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
#21820	2
#20715	2
#20714	2