Subgroups — #6386219

Order 512.

3058 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22509	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21821	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#21819	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#20721	C₂	1	3	yes	maximal
9	#20718	C₂	1	3	yes	maximal
10	Q₈×#41	—	2	8	no	—
11	Q₈×#41	—	2	8	no	—
12	C₂×Q₈²	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#557	C₄	1	3	yes	—
14	C₂×#554	C₄	1	3	yes	—
15	C₂×#554	C₄	1	6	yes	—
16	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#533	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂×#533	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2984	—	2	8	no	—
24	#2982	—	2	8	no	—
25	C₂×#446	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#432	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
33	#1985	C₂²	1	12	yes	—
34	#1984	C₂²	1	12	yes	—
35	#1984	C₂²	1	12	yes	—
36	#1984	C₂²	1	12	yes	—
37	#1818	C₂²	1	3	yes	—
38	#1818	C₂²	1	6	yes	—
39	#1818	C₂²	1	3	yes	—
40	#1798	C₂²	1	12	yes	—
41	#1797	C₂²	1	12	yes	—
42	#1780	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1780	C₂²	1	3	yes	—
44	#1750	C₂²	1	12	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	12	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	Q₈²	—	2	8	no	—
50	#557	—	2	24	no	—
51	#554	—	2	24	no	—
52	#554	—	2	48	no	—
53	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
54	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
55	#533	—	2	24	no	—
56	#533	—	2	24	no	—
57	#533	—	2	12	no	—
58	#533	—	2	12	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
63	C₂×#125	C₂×C₄	1	12	yes	—
64	C₂×#125	C₂×C₄	1	6	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
70	C₄×#41	—	2	12	no	—
71	C₄×#41	—	2	12	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
96	#446	—	2	24	no	—
97	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
98	C₈×Q₈	—	2	24	no	—
99	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
100	#432	—	2	12	no	—
101	#431	—	2	12	no	—
102	#431	—	2	12	no	—
103	#431	—	2	12	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
114	C₂×#97	C₂³	1	6	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
118	#336	C₂³	1	24	yes	—
119	#336	C₂³	1	12	yes	—
120	#336	C₂³	1	12	yes	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
130	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
149	#125	—	2	48	no	—
150	#125	—	2	24	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
170	C₄×D₄	—	2	24	no	—
171	C₄×D₄	—	2	24	no	—
172	C₄×D₄	—	2	12	no	—
173	C₄×D₄	—	2	12	no	—
174	#117	—	2	6	no	—
175	#117	—	2	6	no	—
176	#117	—	2	12	no	—
177	#117	—	2	12	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
194	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
205	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	24	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
215	#97	—	2	12	no	—
216	C₄×C₈	—	2	12	no	—
217	C₄×C₈	—	2	12	no	—
218	C₄×C₈	—	2	12	no	—
219	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
221	#41	—	2	16	no	—
222	#41	—	2	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
232	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
233	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×Q₈	#131	1	8	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	6	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	6	no	—
268	C₂×C₈	—	2	12	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	12	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
280	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
286	C₄²	—	2	12	no	—
287	C₄²	—	2	12	no	—
288	C₄²	—	2	6	no	—
289	C₄²	—	2	6	no	—
290	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
291	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
293	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂³	#519	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	2	8	no	—
307	Q₈	—	2	24	no	—
308	Q₈	—	4	24	no	—
309	Q₈	—	8	12	no	—
310	Q₈	#408	1	16	yes	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	6	no	—
317	C₂×C₄	—	2	6	no	—
318	C₂×C₄	—	2	6	no	—
319	C₂×C₄	—	2	24	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	6	no	—
325	C₂×C₄	—	2	6	no	—
326	C₂×C₄	—	2	12	no	—
327	C₂×C₄	—	2	12	no	—
328	C₂×C₄	—	4	12	no	—
329	C₂×C₄	—	4	24	no	—
330	C₂×C₄	—	8	12	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
336	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#131	1	12	yes	—
338	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	6	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	4	6	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
357	C₂²	#3573	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	6	no	—
361	C₄	—	2	6	no	—
362	C₄	—	2	6	no	—
363	C₄	—	4	6	no	—
364	C₄	—	4	6	no	—
365	C₄	C₂×#408	1	12	yes	—
366	C₄	#3486	1	2	yes	—
367	C₄	#3486	1	2	yes	—
368	C₂	—	4	4	no	—
369	C₂	—	4	2	no	—
370	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂²×#408	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#60065	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#60253	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2984	C₂	semidirect
3. C₂×#2982	C₂	semidirect
4. #22509	C₂	semidirect
5. Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
6. #21821	C₂	semidirect
7. #21819	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#41	2
C₂×#2984	2
C₂×#2982	2
#22509	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
#21821	2
#21819	2
#20721	2
#20718	2