Subgroups — #6386222

Order 512.

4412 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34173	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	Q₈×#99	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#21825	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#20722	C₂	1	6	yes	maximal
6	C₂⁴×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
7	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂×D₄×Q₈	—	2	6	no	—
10	C₂×D₄×Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	3	yes	complemented
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	3	yes	complemented
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#519	—	2	2	no	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
19	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
20	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#2310	—	2	6	no	—
22	#2280	C₂²	1	12	yes	—
23	#1996	C₂²	1	48	yes	complemented
24	#1819	C₂²	1	12	yes	—
25	#1799	C₂²	1	24	yes	—
26	#1781	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#99	C₂²	1	24	yes	—
28	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
29	C₂³×Q₈	—	2	3	no	—
30	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
31	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
32	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
33	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×Q₈	D₄	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	D₄	1	6	yes	—
40	C₂³×Q₈	D₄	1	8	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
45	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
46	D₄×Q₈	—	2	48	no	—
47	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
48	D₄×Q₈	—	2	48	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
62	#519	—	4	16	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂×#117	—	2	12	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
80	C₂×#99	C₂³	1	16	yes	—
81	#391	—	2	48	no	—
82	#381	—	2	12	no	—
83	#380	—	2	12	no	—
84	#380	C₂³	1	24	yes	—
85	#379	C₂³	1	8	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
88	#342	C₂³	1	48	yes	—
89	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
111	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
115	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
153	C₄×D₄	—	2	24	no	—
154	C₄×D₄	—	2	24	no	—
155	C₄×D₄	—	2	24	no	—
156	C₄×D₄	—	2	24	no	—
157	#117	—	4	48	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
179	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
184	#99	—	2	32	no	—
185	#95	—	2	24	no	—
186	#95	—	2	24	no	—
187	C₂⁴	—	2	1	no	—
188	C₂⁴	—	2	1	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	96	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
220	C₂×Q₈	#99	1	8	yes	complemented
221	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
222	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
223	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
224	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	16	no	—
226	C₂×D₄	—	2	16	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₄²	—	2	12	no	—
282	C₄²	—	2	12	no	—
283	C₄²	—	4	48	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	4	1	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	16	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#519	1	4	yes	complemented
314	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
317	Q₈	—	2	24	no	—
318	Q₈	—	2	48	no	—
319	Q₈	—	4	24	no	—
320	Q₈	—	4	24	no	—
321	Q₈	—	4	24	no	—
322	Q₈	C₂×#99	1	16	yes	—
323	D₄	—	2	16	no	—
324	D₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	6	no	—
328	C₂×C₄	—	2	12	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	24	no	—
332	C₂×C₄	—	2	12	no	—
333	C₂×C₄	—	2	12	no	—
334	C₂×C₄	—	2	24	no	—
335	C₂×C₄	—	2	6	no	—
336	C₂×C₄	—	2	6	no	—
337	C₂×C₄	—	4	12	no	—
338	C₂×C₄	—	4	6	no	—
339	C₂×C₄	—	4	6	no	—
340	C₂×C₄	—	4	12	no	—
341	C₂×C₄	—	4	24	no	—
342	C₂×C₄	—	4	6	no	—
343	C₂×C₄	—	4	6	no	—
344	C₂×C₄	—	4	6	no	—
345	C₂×C₄	—	4	6	no	—
346	C₂×C₄	—	4	24	no	—
347	C₂×C₄	—	4	6	no	—
348	C₂×C₄	—	4	6	no	—
349	C₂×C₄	—	4	16	no	—
350	C₂×C₄	—	4	16	no	—
351	C₂×C₄	—	4	16	no	—
352	C₂×C₄	C₂×#99	1	12	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
356	C₂×C₄	#519	1	4	yes	complemented
357	C₂²	—	2	8	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	C₂²×#99	1	2	yes	—
381	C₂²	#2884	1	2	yes	—
382	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
384	C₂²	#3486	1	4	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	6	no	—
387	C₄	—	2	12	no	—
388	C₄	—	4	6	no	—
389	C₄	—	4	6	no	—
390	C₄	—	8	16	no	—
391	C₄	C₂²×#99	1	12	yes	—
392	C₂	—	2	4	no	—
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	—	2	2	no	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	4	2	no	—
397	C₂	—	4	4	no	—
398	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂³×#99	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#2884	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34173	C₂	semidirect
3. Q₈×#99	C₂	semidirect
4. #21825	C₂	semidirect
6. C₂⁴×Q₈	C₄	semidirect
11. C₂×D₄×Q₈	C₄	semidirect
13. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
14. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
17. C₂²×C₄×Q₈	C₄	semidirect
20. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
23. #1996	C₂²	semidirect
220. C₂×Q₈	#99	semidirect
313. C₂³	#519	semidirect
356. C₂×C₄	#519	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×D₄×Q₈	2
#34173	2
Q₈×#99	2
#21825	2
#20722	2